勾配流による結び目のエネルギーの解析

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2017年度に、一般化されたO’Haraエネルギーの分解定理についての論文を執筆し投稿した。その結果を利用すると、一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式を導く事が出来ることが分かった。一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式は、メビウス・エネルギーの場合に知られる余弦公式を含むものであり、エネルギー密度のメビウス不変部分とそうでない部分を明瞭に見分けることができる。既存のエネルギーの別表現であり、メビウス不変でないエネルギーがメビウス不変性とどのくらい乖離しているかを表すものである。もう一つの結果は、分解されたメビウス・エネルギーに関するものである。メビウス・エネルギーはメビウス変換によってエネルギーを変えない事がその名前の由来である。エネルギーの分解は、それぞれがメビウス不変性をもち、変分公式の導出やその評価が、元のエネルギーから直接計算するよりはるかに容易に行えるようになった。分解は、元のエネルギーを2つのエネルギーと定数に分けるものである。以前の論文では、分解エネルギーのメビウス不変性の証明は、第1エネルギーのその性質を調べることで示され、第2エネルギーのメビウス不変性は第1エネルギーと元のエネルギーのそれらから間接的に示した。第2エネルギーは、そのエネルギー密度が第1エネルギーのそれより複雑であるからである。今年度の研究は、第2エネルギーについて、そのエネルギー密度を別の視点からとらえることで、分解エネルギーの各点評価、連続度評価などを行った。特に、第2エネルギーのメビウス不変性を直接証明する方法を見出した。この新たな視点から眺めると、むしろ第1エネルギーの方が扱いにくい部分もある事が見えてきた。