勾配流による結び目のエネルギーの解析

梯度流引起的结能量分析

• 批准号: 17J01429
• 负责人: 石関 彩
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Chiba University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-26 至 2020-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J01429/
• 关键词: メビウス・エネルギー; 結び目のエネルギー; エネルギーの分解; 変分公式; 勾配流

2017年度に、一般化されたO’Haraエネルギーの分解定理についての論文を執筆し投稿した。その結果を利用すると、一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式を導く事が出来ることが分かった。一般化されたO’Haraエネルギーに対する余弦公式は、メビウス・エネルギーの場合に知られる余弦公式を含むものであり、エネルギー密度のメビウス不変部分とそうでない部分を明瞭に見分けることができる。既存のエネルギーの別表現であり、メビウス不変でないエネルギーがメビウス不変性とどのくらい乖離しているかを表すものである。もう一つの結果は、分解されたメビウス・エネルギーに関するものである。メビウス・エネルギーはメビウス変換によってエネルギーを変えない事がその名前の由来である。エネルギーの分解は、それぞれがメビウス不変性をもち、変分公式の導出やその評価が、元のエネルギーから直接計算するよりはるかに容易に行えるようになった。分解は、元のエネルギーを2つのエネルギーと定数に分けるものである。以前の論文では、分解エネルギーのメビウス不変性の証明は、第1エネルギーのその性質を調べることで示され、第2エネルギーのメビウス不変性は第1エネルギーと元のエネルギーのそれらから間接的に示した。第2エネルギーは、そのエネルギー密度が第1エネルギーのそれより複雑であるからである。今年度の研究は、第2エネルギーについて、そのエネルギー密度を別の視点からとらえることで、分解エネルギーの各点評価、連続度評価などを行った。特に、第2エネルギーのメビウス不変性を直接証明する方法を見出した。この新たな視点から眺めると、むしろ第1エネルギーの方が扱いにくい部分もある事が見えてきた。

2017年，我撰写并提交了有关广义的O'Hara Energy Decomposition定理的论文。使用结果，我们发现我们可以为广义的O'Hara Energy得出余弦公式。 O'Hara Energy的广义余弦公式包括在Mobius Energy中已知的余弦公式，从而可以在能量密度的Mobius不变和非Mobius-Invariant部分之间进行清晰的识别。它是现有能量的不同表达，代表非摩布ius不变的能量与mobius-Invariant分开多远。另一个结果涉及分解莫比乌斯能量。该名称的起源是Mobius Energy不会通过Mobius转换来改变能量。能量的分解是每个莫比乌斯不变的，使得与从原始能量直接计算的直接计算得出的变化公式更容易得出。分解将原始能量分为两个能量和常数。在以前的论文中，通过检查其第一能量的特性，证明了莫比乌斯分解能量不变性的证明，而第二能的莫比乌斯不变性与第一能量和原始能量的莫比乌斯不变性间接显示。这是因为第二能量的能量密度比第一个能量的能量密度更为复杂。今年的研究通过不同的角度看待第二能量的能量密度来对分解能量和连续性进行评估。特别是，我们发现了一种直接证明第二能量的莫比乌斯不变性的方法。从这个新的角度来看，我可以看到，实际上，有些部分更难处理。

项目成果

メビウス・エネルギーにΓ-収束するメビウス不変な離散化

莫比乌斯不变离散化与 Γ 收敛到莫比乌斯能量

• 发表时间: 2019
• 作者: 長澤 壯之;石関 彩
• 通讯作者: 石関 彩

分解されたメビウス・エネルギーの上界・下界と連続度評価

分解莫比乌斯能量的上下界及连续性评估

• 发表时间: 2020
• 作者: 長澤壯之;石関彩
• 通讯作者: 石関彩

一般化されたO’Haraエネルギーの分解について

关于广义奥哈拉能量分解

• 发表时间: 2019
• 作者: 長澤壯之;石関彩
• 通讯作者: 石関彩