Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds

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結び目のエネルギーの代表であるメビウス・エネルギーの諸性質を理解するために、結び目だけでなく絡み目のエネルギー全般を解析し、メビウス・エネルギーの特殊性を浮き挙がらせる方法を用いた。結び目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解が絡み目に対するメビウス・エネルギーについても成り立つ事が分かった。分解エネルギーについては、同一のものにかからわず、様々な表現が知られている。ここでは、ガウス写像を用いた表現を得た。絡み目の場合、ガウス写像の写像度が絡み数という位相不変量となる。このように位相を表現する量を用いて分解エネルギーが表現できたことは、位相を固定したときの変分問題に応用できるのではと考えられる。元々第一分解エネルギーは分数冪調和写像のエネルギーとの類似が指摘されていたが、第二分解エネルギーはガウス写像を用いる事で波動写像（調和写像の一種）と緊密に関連する事が明らかとなった。これは、当初は想定していなかった発見である。調和写像については従前より膨大な研究成果があり、結び目や絡み目のメビウス・エネルギーの新たな知見が得られることは期待できる。更に、メビウス・エネルギーのメビウス不変分解は、ユークリッド空間内の結び目や絡み目に対して成立するが、これはユークリッド空間で中線定理が成り立つことに由来することも明らかになった。これは、前ヒルベルト空間に値をもつ結び目や絡み目に対する場合でも類似の結果を生むことを示唆する。これも研究当初では想定しなかった発見である。