An algebro-combinatorial approach to Kloosterman sums

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1926年に導入された指標和Kloosterman和は，群G=SL(2,Z)のBruhat分解と関係するKloosterman set上に定義されることが報告されている．ここで，Bruhat分解は，群Gと関係するワイル群Wとボレル部分群Bを用いてG=BWBと表される分解である．群Gのランクをあげることにより，高ランクKloosterman和が定義され，その性質の解明が興味の対象となる．D.Bump, S.Friedberg, D.Goldfeldによる先行研究([BFG])では，SL(3,Z)のBruhat分解をさらに細かく分解し，細分化されたKloosterman set上にKloosterman和が定義できることが報告されている．本研究では， この細分化に再度着目した上で， Kloosterman和の代数的および組合せ論的構造を解析し，Kloosterman和の性質の解明と応用に取り組んだ．昨年度は，G=SL(2,Z)において，ワイル群の最長元に対するBruhat分解について，シューベルトカルキュラス理論で用いられるBott-Samelson分解を元にした新たな分解を与えることができた．今年度は，この拡張として，G=SL(3,Z)について同様の検討を行った．ランクを上げたことにより，SL(2)では生じなかったより複雑な修正が必要となったが，その修正に成功した．さらに，分解したより小さい集合上に定義されるKloosterman和（fine Kloosterman和）の性質について研究を行った．この結果，fine Kloosterman和が2つの古典的なSL(2) Kloosterman和の積の和で表せることを発見した．また，本結果を応用することにより，ある整数を3つの数の積で表す総数を表す約数関数について，explicit formulaを得ることに成功した．