高次元双曲多様体の素測地線定理

高维双曲流形的基本测地定理

• 批准号: 00J04516
• 负责人: 中筋 麻貴
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-00J04516/
• 关键词: 素測地線定理; 高次元化; 下からの評価; リー群; ラプラシアンの最小固有値; Rankin-Selberg理論; 表現論; セルバーグゼータ関数

双曲多様体上の素測地線の分布に関する研究に取り組んできた。分布は素測地線定理と言われる定理の形で評価されており、その誤差項の改善が問題となっている。前年度得られた、3次元双曲多様体の素測地線定理の誤差項の下からの評価をもとに、今年度はその高次元化に取り組んだ。まず、n次元双曲多様体の1つである、基本群がSO(n-1,1)であるリーマン多様体上の素測地線に関し、評価を得ることに成功した(現在投稿中)。この結果を9月の島根大学で行われた日本数学会で発表した。また、11月に沖縄で開かれた国際シンポジウム「Zetas and trace formula in Okinawa」で発表した。沖縄での発表で、九州大学の若山正人教授にされた質問をもとに、その後さらに一般の基本群をもつn次元双曲多様体への拡張を試みた。その結果、Lie群の一般論を用いることで、より一般のn次元双曲多様体上の素測地線定理の誤差項の下からの評価を得ることに成功した(現在投稿中)。ここで得られた結果は、基本群がSO(n-1,1)も含め、スペクトル理論において、連続スペクトルの寄与が無視できるほど十分小さい時、という条件を必要とする。これに関し、12月に米国オハイオ大学のLuo教授が来日した際のdiscussionにおいて、条件を除外するという改良の可能性があることが判明し、現在、その研究に取り組んでいる。一方、別問題として、3次元双曲多様体上に定義されたラプラシアンの最小固有値を評価する問題に取り組んでいる。ラプラシアンの最小固有値はセルバーグゼータ関数の零点を経由し、スペクトルと関係し、その評価は素測地線定理の誤差項の上からの評価の改善につながる。2001年Kim-Sarnakによってこれまで知られていた評価(2次元双曲多様体)が改善された。本研究はこの結果の3次元への高次元化である。評価を得るためにはRankin-Selberg理論と表現論が必要となる。今年度の研究によりこららの理論を習得することができた。目的としている評価にこれを応用し、ある仮定の上で評価を得た。現在その仮定について研究を行っており、今後も続けて、この研究に取り組んでいく。

Study on the Distribution of Prime Geodetic Lines on Hyperbolic Polymorph The problem of improving the error term of the distribution prime geodesic line theorem is discussed. The error term of the prime geodetic theorem of the previous year was evaluated, and the high dimensionalization of the current year was selected. The basic group SO(n-1,1) is the basic group of the n-dimensional hyperbolic polyhedron. The results were announced by Shimane University in September. In November 2011, the International Forum on Zetas and Trace Formula in Okinawa was launched. Professor Masato Wakayama of Kyushu University asked questions about the basic group of n-dimensional hyperbolic polyhedra. The results of Lie group are used in the general theory of Lie group. The error term of prime geodetic theorem on hyperbolic polyhedron of n dimension is evaluated successfully (now in submission). The result is that the basic group SO(n-1,1) contains the necessary conditions for the theory, even if the basic group SO (n-1,1) is very small. Professor Luo of the University of the United States in December 2010 has made a decision on the possibility of improvement except for the discussion in the future. The problem of defining and evaluating the minimum intrinsic value of a cubic hyperbolic polyhedron The minimum intrinsic value of the gradient is the zero point of the gradient correlation, the relation between the gradient and the error term of the prime geodetic theorem, and the improvement of the gradient. 2001 Kim-Sarnak's "Two Dimensional Hyperbolic Polymorph" was improved. The results of this study are three-dimensional and high-dimensional. Comments on Rankin-Selberg Theory and Performance Theory This year's research is on the theory of The goal is to improve the quality of the product. Now, we are determined to conduct research, and in the future, we will conduct research.

项目成果

Maki Nakasuji: "Error term of prime geodesic theorem"Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory. 228-241 (2002)

Maki Nakasuji：“素数测地定理的误差项”数论中的分析和概率方法。

Maki Nakasuji: "Prime geodesic theorem for hyperbolic 3-maniflds general cofinite cases"Forum Mathematicum. 32. 1-38 (2002)

Maki Nakasuji：“双曲 3-流形一般余有限情况的素数测地线定理”数学论坛。

Tsuneo Arakawa, Shin-ya Koyama, Maki Nakasuji: "Arithmetic forms of Selberg zeta functions with applications to prime geodesic theorem"Proceedings of the Japan Academy. 78,Ser.A. 120-125 (2002)

Tsuneo Arakawa、Shin-ya Koyama、Maki Nakasuji：“Selberg zeta 函数的算术形式及其在素数测地定理中的应用”日本学士院学报。

Maki Nakasuji: "Prime geodesic theorem via the explicit formula of Ψ for hyperbolic 3-manifolds"Proceedings of the Japan Academy. 77,Ser.A. 130-133 (2001)

Maki Nakasuji：“通过双曲 3-流形 Ψ 的显式公式得出素数测地线定理”，日本学院学报 77，Ser.A。