高次元双曲多様体の素測地線定理

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双曲多様体上の素測地線の分布に関する研究に取り組んできた。分布は素測地線定理と言われる定理の形で評価されており、その誤差項の改善が問題となっている。前年度得られた、3次元双曲多様体の素測地線定理の誤差項の下からの評価をもとに、今年度はその高次元化に取り組んだ。まず、n次元双曲多様体の1つである、基本群がSO(n-1,1)であるリーマン多様体上の素測地線に関し、評価を得ることに成功した(現在投稿中)。この結果を9月の島根大学で行われた日本数学会で発表した。また、11月に沖縄で開かれた国際シンポジウム「Zetas and trace formula in Okinawa」で発表した。沖縄での発表で、九州大学の若山正人教授にされた質問をもとに、その後さらに一般の基本群をもつn次元双曲多様体への拡張を試みた。その結果、Lie群の一般論を用いることで、より一般のn次元双曲多様体上の素測地線定理の誤差項の下からの評価を得ることに成功した(現在投稿中)。ここで得られた結果は、基本群がSO(n-1,1)も含め、スペクトル理論において、連続スペクトルの寄与が無視できるほど十分小さい時、という条件を必要とする。これに関し、12月に米国オハイオ大学のLuo教授が来日した際のdiscussionにおいて、条件を除外するという改良の可能性があることが判明し、現在、その研究に取り組んでいる。一方、別問題として、3次元双曲多様体上に定義されたラプラシアンの最小固有値を評価する問題に取り組んでいる。ラプラシアンの最小固有値はセルバーグゼータ関数の零点を経由し、スペクトルと関係し、その評価は素測地線定理の誤差項の上からの評価の改善につながる。2001年Kim-Sarnakによってこれまで知られていた評価(2次元双曲多様体)が改善された。本研究はこの結果の3次元への高次元化である。評価を得るためにはRankin-Selberg理論と表現論が必要となる。今年度の研究によりこららの理論を習得することができた。目的としている評価にこれを応用し、ある仮定の上で評価を得た。現在その仮定について研究を行っており、今後も続けて、この研究に取り組んでいく。