Spektrale Eigenschaften von Laplace-Operatoren auf graph-artigen Mannigfaltigkeiten

点击翻译按钮获取中文摘要

Das Forschungsvorhaben beschäftigt sich mit Differentialoperatoren auf verzweigten ( graph-artigen ) Mannigfaltigkeiten und ihren spektralen Eigenschaften. Leitmotiv ist die Beschreibung höherdimensionaler Strukturen ( graph-artige Mannigfaltigkeiten ) durch eindimensionale verzweigte Strukturen ( metrische Graphen ), sowie die Untersuchung der zugehörigen spektralen Eigenschaften unter dem Grenzübergang von der höherdimensionalen zur eindimensionalen Struktur. Ein anschauliches Beispiel einer graph-artigen Mannigfaltigkeit ist die Oberfläche eines verzweigten Systems von Röhren, deren Durchmesser gegen 0 konvergiert. Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten haben neben ihrer innermathematischen Verwendung vielfältige Anwendungen in der Mathematischen Physik und darauf aufbauenden Wissenschaften. Mannigfaltigkeiten verallgemeinern das Konzept gekrümmter Flächen; spektrale Eigenschaften von Differentialoperatoren wie dem Laplace-Operator beschreiben wichtige Eigenschaften der Fläche wie z. B. Resonanzfrequenzen, Leitfähigkeit oder das Verhalten quantenmechanischer Teilchen auf einer solchen Fläche. Durch ihre explizite Konstruktion aus einer eindimensionalen Struktur erhofft man sich, viele sonst schwer berechenbare Größen explizit (zumindest approximativ) angeben zu können. Konkrete Fragestellungen sind hierbei unter anderem: Berechnung der Leitfähigkeit des höherdimensionalen Systems mit unendlich langen Enden ( Streutheorie ) aus der Leitfähigkeit des eindimensionalen Systems; Konstruktion von nichtkompakten Mannigfaltigkeiten ( unendlich ausgedehnten Flächen ), deren Spektrum ( Leitfähigkeits- und Resonanzverhalten ) vorgegeben ist.