共形場理論とゲージ理論の代数的解析

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Toda systemのq-類似は量子群の表現論との繋がりの中で研究されてきた。特にq-戸田差分作用素の固有関数（q-戸田関数）はVerma module のWhittakerベクトルを用いて構成することができる。また旗多様体の量子コホモロジーや、アフィンDemazure加群の指標とも深い関係があり、Macdonald関数の退化極限としても与えられる。今年度は星野氏, 白石氏によって予想されたB型のq-戸田関数の明示公式を証明した。この明示公式はB型のq-戸田関数をA型のq-戸田関数で展開する分岐公式とみなせる。証明はA型q-戸田関数の隣接関係式（q-超幾何級数のそれと似た関係式）を構成し、分岐係数の漸化式を立てることによって与えることができる。他の型における類似の公式や、この分岐公式のMacdonald関数への持ち上げについても興味があるが未だ見つかっていない。さらに今年度は、高次のKoornwinder作用素の自由場表示やSergeev-Veselovのdeformed Macdonald多項式のDing-Iohara-Miki代数による構成や明示式についても考察した。1次のKoornwinder作用素の自由場表示については、すでに構成できているが、高次の作用素についてはパラメータa,b,c,dが退化している時の予想があるのみで、証明にまで至っていない。パラメータが一般の場合には一般的な予想はないが、２次の作用素については予想ができている。A型Macdonald作用素の自由場表示とは異なり、BC型(Koornwinder作用素)の場合は極が複雑に現れるため、それらの法則をうまく処理する必要があり、それらの解析を行った。