数値代数解析学の開拓 ー量子系偏微分方程式の数値解法の新展開ー

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偏微分方程式の数値計算は，離散化を担う数値解析学と，行列方程式に帰着された後の数値線形代数学によって支えられてきた．両者はそれぞれが一つの学問領域として成熟し，多くの優れた解法が生成されてきたが，一方で，両領域間の交流は希薄になってきており，偏微分方程式の数値解法の発展の足かせになりはじめている．本研究は，一度は細分化した数値解析学と数値線形代数学を独自の視座で再融合し，特に代数学的精神で解析学を数値的に研究する新しい学理「数値代数解析学」を開拓することを目指すものである．2年度目は，初年度に開発した適応型射影SOR法について，新たな応用例の研究などを行った．初年度は，偏微分方程式の数値解法や画像処理の文脈を念頭に数値実験による検証を行っていたが，適応型射影SOR法は線形制約付きの二次計画問題全般に応用することが原理的には可能であり，これまでの検証に加えて，機械学習など情報学のいくつかの文脈の問題設定下でも有用であることを検証した．さらに，CG法と微分方程式の関係についても検討を進めた．CG法それ自体について微分方程式との直接的かつ非自明な関係性は依然として発見できていないが，その研究の中で，遅延微分方程式と連立一次方程式の数値解法の間にいくつかの関係性を見出すことができた．その他，KdV方程式やシュレディンガー方程式などいくつかの偏微分方程式に対して，離散化後の行列計算を強く意識した新しい離散化手法の検討を進めた．