医療における多目的決定構造の数理的解明

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今年度も，異分野チームとして構成された担当者間でディスカッションを何度も継続してきた．その一部は，画像の認識・理解シンポジウムにおいて発表済み(タイトル：多目的最適化問題の一意解のための特異点論応用)である．単なる応用研究と異なり，むしろ数学に近い分野の研究が基盤として存在するため論文を多発するのは難しいが，それでも着実に理論的成果は出ている．上記シンポジウムの段階では，複数の二次関数を目的関数とした場合の多目的最適化問題において，そのパレートフロント（パレート解集合）の形状を吟味し，複数の着眼点での特異点を見出すことに成功した．二次関数は，正規分布の対数尤度や，最小二乗系，機械学習における正則化など，実問題で頻繁に用いられる典型的な目的関数である．それらを複数の目的関数としたときに，一般的な荷重和による単一目的化ではなく，多目的のまま扱いながらパレートフロントの曲率最小点の意味での一意解の導出とその意味を見出したのは，成果の一つである．その後も度々対面でのディスカッションも行ってきた．2022年度末時点では，二次関数の代わりに正規分布形状を目的関数に用いた場合について議論を行った．二次関数の場合のパレートフロント形状が比較的安定しているのに比べ，複数の正規分布を用いた場合のパレートフロントは正規分布間の位置関係によって大きく変化し，それによって特異点位置も異なる．例えば，2つの正規分布について，それらの平均間距離を徐々に広げると，特異点位置の軌跡は一種の分岐構造を描くことがわかった．すなわち特異点を頼りに求めた唯一解の様相は状況によって大きく異なるという興味深い成果が得られている．