Research on singularities of algebraic varieties

Smooth variety とその上の coherent ideals の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancy (mld と略記)のなす集合のいろいろな性質：①指数を固定した時の有限性，②指数がDCC を満たす集合を動く場合mld の就業はACC を満たす（ ACC 予想）③指数を固定するとmld をcompute する因子を得るためのblow up の回数は有界である．(MN予想）など，双有理幾何学において重要な問題である．①については基礎体の標数が０の場合は証明されているが，②や③は基礎体の標数が０の場合でも未解決である．しかし標数が０の場合は特異点解消や，Bertini の定理，小平型のコホモロジー消滅定理などがあるため，比較的優しいと予想されている．本研究ではこれらの問題を正標数の場合に考える．「標数０の場合にこれらの性質が成立すれば自動的に正標数の場合も成立する」という構造を目指している．現在のところ，smooth variety とその上のcoherent ``fractional ideals" の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancyについて標数０で①②③が成立すれば正標数の smooth variety とその上のcoherent idealsの対に対して①②③が示されるところまで得られた．これらの結果を，2021年フランスのLuminy 研究所，2022年米国のJohns Hopkins 大学の研究集会で発表した．また2023年3月に東京大学においてMini workshop on singularities を主催し，特異点の専門家たちと研究交流し最新の成果についての情報交換をした．

Smooth variety とその上の coherent ideals の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancy (mld と略記)のなす集合のいろいろな性質：①指数を固定した時の有限性，②指数がDCC を満たす集合を動く場合mld の就業はACC を満たす（ ACC 予想）③指数を固定するとmld をcompute する因子を得るためのblow up の回数は有界である．(MN予想）など，双有理幾何学において重要な問題である．①については基礎体の標数が０の場合は証明されているが，②や③は基礎体の標数が０の場合でも未解決である．しかし標数が０の場合は特異点解消や，Bertini の定理，小平型のコホモロジー消滅定理などがあるため，比較的優しいと予想されている．本研究ではこれらの問題を正標数の場合に考える．「標数０の場合にこれらの性質が成立すれば自動的に正標数の場合も成立する」という構造を目指している．現在のところ，smooth variety とその上のcoherent ``fractional ideals" の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancyについて標数０で①②③が成立すれば正標数の smooth variety とその上のcoherent idealsの対に対して①②③が示されるところまで得られた．これらの結果を，2021年フランスのLuminy 研究所，2022年米国のJohns Hopkins 大学の研究集会で発表した．また2023年3月に東京大学においてMini workshop on singularities を主催し，特異点の専門家たちと研究交流し最新の成果についての情報交換をした．