On finite generation of symbolic Rees rings

昨年度まで明治大学のポスドクであった稲川太郎氏との共同研究で、スペースモノミアル曲線 (t^a,t^b,t^c) を定義する素イデアルの生成元の中から negative curve が取れる場合に、シンボリックリース環が有限生成になるための必要十分条件を与えることに大きく前進した。係数体の標数が正であれば、Cutkosky の結果により、シンボリックリース環はいつも有限生成である。以下、係数体の標数は 0 としよう。(a,b,c) によって定まるある自然数の数列(有限で止まる)が定まる。その数列によってシンボリックリース環の有限生成性が判定できるであろうということは、He や藏野-西田によって予想されていた。その数列が EMU 条件を満たせばシンボリックリース環が有限生成になるということは、以前からわかっていた。稲川太郎氏との共同研究では、逆の主張が正しいということをほぼ確認することができた。今後の研究課題としては、上のことを negative curve が第二階のシンボリック冪から取れる場合に拡張することである。そのような時、多くの場合、曲線の proper transform は P^1 になるので、定義素イデアルの生成元の中から negative curve の生成元が取れる場合と同じことができるのではないかと考えている。それを用いて、a=5,8 で有限生成でない例などを考えたい。

昨年度まで明治大学のポスドクであった稲川太郎氏との共同研究で、スペースモノミアル曲線 (t^a,t^b,t^c) を定義する素イデアルの生成元の中から negative curve が取れる場合に、シンボリックリース環が有限生成になるための必要十分条件を与えることに大きく前進した。係数体の標数が正であれば、Cutkosky の結果により、シンボリックリース環はいつも有限生成である。以下、係数体の標数は 0 としよう。(a,b,c) によって定まるある自然数の数列(有限で止まる)が定まる。その数列によってシンボリックリース環の有限生成性が判定できるであろうということは、He や藏野-西田によって予想されていた。その数列が EMU 条件を満たせばシンボリックリース環が有限生成になるということは、以前からわかっていた。稲川太郎氏との共同研究では、逆の主張が正しいということをほぼ確認することができた。今後の研究課題としては、上のことを negative curve が第二階のシンボリック冪から取れる場合に拡張することである。そのような時、多くの場合、曲線の proper transform は P^1 になるので、定義素イデアルの生成元の中から negative curve の生成元が取れる場合と同じことができるのではないかと考えている。それを用いて、a=5,8 で有限生成でない例などを考えたい。