保型形式の特殊値の数論的研究とその応用

自同构特殊值的数论研究及其应用

• 批准号: 22K03263
• 负责人: 立谷 洋平
• 金额: $ 1.75万
• 依托单位: Hirosaki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03263/
• 关键词: 超越数; 代数的独立性; 線形独立性; 空隙級数; 保型形式; テータ零値; 超越性; ヤコビテータ関数; 特殊値

1954年、P.Erdos-E.G.Strausは多項式増大度を超える空隙をもつようなb進展開(b>1は整数)により表される実数は超越数であることを証明した。これは超越数論における基本的な結果であるLiouvilleの結果(1844)を包括するものである。その後、Erdos(1957)はG.G.Lorentz(1955)の手法を改良し、ある条件を満たす二つの無限級数に対して、それらの和が無理数となるための十分条件を与えた。これは、上述したErdos-Strausの結果の一般化であり、より強く多項式増大度をもつ空隙級数に対しても数論的性質を議論することができる。例えば、整数k>1に対して級数Σ2^{-n^k}は(k-1)次以下の代数的数ではないことがわかる（k=2の場合については、Yu.V.Nesterenkoの定理(1996)からより強く超越性が示されている）。本研究では、Erdos(1957)の定理の条件の緩和および代数的独立性への応用を目指す。令和4年度においては、空隙級数の係数の増大度と空隙のバランスを考慮することで一定の成果を得ることはできた。しかし、そのバランスの最良性に関する検討については不十分であり改善の必要がある。令和5年度も引き続き本問題に取り組み、代数的独立となる新たな数集合の実例の発見を見据えながら研究を推し進める。

1954年，P。Erdos-E。 G. Straus证明，由B高级扩张（B> 1是一个整数）表示的实数，差距高于多项式增加水平是先验数字。这涵盖了Liouville的结果（1844年），这是先验数理论的基本结果。然后，Erdos（1957）改进了G.G.的方法。 Lorentz（1955）为满足一定条件的两个无限级数的总和提供了足够的条件，因此这些数字的总和成为一个不合理的数字。这是上面提到的Erdos-Straus结果的概括，并且可以通过更强的多项式增加来讨论空隙序列的数值特性。例如，可以看出，σ2^{ - n^k}的系列不是下面的代数数（k-1）integer k> 1（对于k = 2的情况，yu.v. nesterenko的定理（1996）显示出更强的超越性）。这项研究旨在放松Erdos（1957）定理的条件，并将其应用于代数独立性。在2022年，通过考虑到空隙序列系数的增加以及空隙之间的平衡来实现某些结果。但是，对最佳平衡的考虑不足，需要改善。我们将继续在2023财年解决此问题，并将继续研究将成为代数独立的新数字的示例。

项目成果

Diophantine Analysis and Related Fields 2023

丢番图分析及相关领域 2023

• 发表时间: 2023