完全代数的独立性の拡張と高次元化

点击翻译按钮获取中文摘要

2022年度は以下の２課題について研究した。ひとつは微分完全代数的独立性を有する空隙的な冪級数の指数が成す数列に関して残された課題の解決であり、もうひとつは完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数の構成であった。ここで、関数が完全代数的独立性を有するとは、その定義域内にある、代数的数を成分とするすべての点における関数値から成る無限集合が代数的独立となることをいう。さらに、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となるとき、その関数は微分完全代数的独立性をもつという。前者の課題に関しては冪級数の指数が成す数列として最も簡単な形の線形回帰数列を与えることが課題であった。つまり、線形回帰数列が指数として現れる冪級数で定義される関数が微分完全代数的独立性を有するためには、指数を成す線形回帰数列が十分に複雑である必要があるが、最低限どの程度複雑なものであれば必要十分か確定させる問題が残されていた。研究代表者の2021年度までの研究において、そのような線形回帰数列の最も簡単なものは等比数列と等差数列の和であることが解明されていた。しかし、等差数列の公差の絶対値が2以上であって微分完全代数的独立性をもつ例の存在性が問題であった。2022年度の研究により、この問題が否定的に解決された。即ち、k番目の項の指数が 等比数列+k または 等比数列-k の場合に限り微分完全代数的独立性を有することが証明された。後者の課題は現在進行中であるため詳細は下記「８．今後の研究の推進方策」欄において述べる。2022年度の成果は位数の小さい２面体群の作用に関して完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数を構成できたことである。