完全代数的独立性の拡張と高次元化

扩展完全代数独立性并增加维度

• 批准号: 20K03519
• 负责人: 田中 孝明
• 金额: $ 1.75万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03519/
• 关键词: 代数的独立性; 線形回帰数列; 群作用; 無限積; Mahler関数; 非対称性; 超越数; 空隙級数; 代数学; 数論; 解析数論; 超越数論

2022年度は以下の２課題について研究した。ひとつは微分完全代数的独立性を有する空隙的な冪級数の指数が成す数列に関して残された課題の解決であり、もうひとつは完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数の構成であった。ここで、関数が完全代数的独立性を有するとは、その定義域内にある、代数的数を成分とするすべての点における関数値から成る無限集合が代数的独立となることをいう。さらに、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となるとき、その関数は微分完全代数的独立性をもつという。前者の課題に関しては冪級数の指数が成す数列として最も簡単な形の線形回帰数列を与えることが課題であった。つまり、線形回帰数列が指数として現れる冪級数で定義される関数が微分完全代数的独立性を有するためには、指数を成す線形回帰数列が十分に複雑である必要があるが、最低限どの程度複雑なものであれば必要十分か確定させる問題が残されていた。研究代表者の2021年度までの研究において、そのような線形回帰数列の最も簡単なものは等比数列と等差数列の和であることが解明されていた。しかし、等差数列の公差の絶対値が2以上であって微分完全代数的独立性をもつ例の存在性が問題であった。2022年度の研究により、この問題が否定的に解決された。即ち、k番目の項の指数が 等比数列+k または 等比数列-k の場合に限り微分完全代数的独立性を有することが証明された。後者の課題は現在進行中であるため詳細は下記「８．今後の研究の推進方策」欄において述べる。2022年度の成果は位数の小さい２面体群の作用に関して完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数を構成できたことである。

In 2022, the following 2 topics were studied. The independence of differential complete algebra has a gap between the exponents of power series and the formation of a series of numbers. The independence of a complete algebra is a function of the number of algebraic elements in a domain. The differential coefficients of any order are independent of the algebra, and the differential coefficients of any order are independent of the algebra. The former problem is related to the exponential series of power series and the simplest linear regression series. A linear regression series is a series of exponents. A power series is a series of exponents. A linear regression series is a series. A linear regression series The representative of the study in 2021 will study the most simple linear regression series and the sum of the arithmetic series. The absolute value of the tolerance of arithmetic series is more than 2. The independence of differential complete algebra is a problem of existence. The 2022 annual research is aimed at solving these problems. That is to say, the exponent of the term of k is equal to the ratio series +k, and the independence of the differential complete algebra is proved in the case of-k. The latter topic is currently in progress and detailed in the column "8. Future research and promotion strategy". The results of 2022 are related to the role of small dihedral groups in the independence of complete algebras.

项目成果

Mahler's method for algebraic independence of partial derivatives of certain series in several variables

多变量中某些级数偏导数的代数独立性的马勒方法

• 发表时间: 2023
• 作者: Koji Masumura;Muneyoshi Kanai;Miyuki Kawano-Kawada;Takayuki Sekito;Tomoyoshi Soga;Masaki Mizunuma;Haruki Ide and Taka-aki Tanaka
• 通讯作者: Haruki Ide and Taka-aki Tanaka

Algebraic independence of the values of power series and their derivatives generated by linear recurrences

线性递推生成的幂级数及其导数的代数独立性

• DOI: 10.3836/tjm/1502179362
• 发表时间: 2022
• 期刊: Tokyo Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.6
• 作者: Haruki Ide;Taka-aki Tanaka and Kento Toyama
• 通讯作者: Taka-aki Tanaka and Kento Toyama

On power series generated by simpler sequences and having strong algebraic independence properties

论由较简单序列生成且具有强代数独立性的幂级数

• 发表时间: 2022
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録
• 作者: TANAKA Taka-aki;TOYAMA Kento
• 通讯作者: TOYAMA Kento

より簡単な数列で生成され，強い代数的独立性を有する冪級数について

关于由更简单的序列生成并具有很强的代数独立性的幂级数。

• 发表时间: 2021
• 作者: Kamano Ken;Onozuka Tomokazu;田中 孝明
• 通讯作者: 田中 孝明