完全代数的独立性の拡張と高次元化

扩展完全代数独立性并增加维度

• 批准号: 20K03519
• 负责人: 田中 孝明
• 金额: $ 1.75万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03519/
• 关键词: 代数的独立性; 線形回帰数列; 群作用; 無限積; Mahler関数; 非対称性; 超越数; 空隙級数; 代数学; 数論; 解析数論; 超越数論

2022年度は以下の２課題について研究した。ひとつは微分完全代数的独立性を有する空隙的な冪級数の指数が成す数列に関して残された課題の解決であり、もうひとつは完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数の構成であった。ここで、関数が完全代数的独立性を有するとは、その定義域内にある、代数的数を成分とするすべての点における関数値から成る無限集合が代数的独立となることをいう。さらに、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となるとき、その関数は微分完全代数的独立性をもつという。前者の課題に関しては冪級数の指数が成す数列として最も簡単な形の線形回帰数列を与えることが課題であった。つまり、線形回帰数列が指数として現れる冪級数で定義される関数が微分完全代数的独立性を有するためには、指数を成す線形回帰数列が十分に複雑である必要があるが、最低限どの程度複雑なものであれば必要十分か確定させる問題が残されていた。研究代表者の2021年度までの研究において、そのような線形回帰数列の最も簡単なものは等比数列と等差数列の和であることが解明されていた。しかし、等差数列の公差の絶対値が2以上であって微分完全代数的独立性をもつ例の存在性が問題であった。2022年度の研究により、この問題が否定的に解決された。即ち、k番目の項の指数が 等比数列+k または 等比数列-k の場合に限り微分完全代数的独立性を有することが証明された。後者の課題は現在進行中であるため詳細は下記「８．今後の研究の推進方策」欄において述べる。2022年度の成果は位数の小さい２面体群の作用に関して完全代数的独立性の拡張概念の実例となる多変数関数を構成できたことである。

在2022财年中，我们研究了以下两个问题：一个是解决剩余的问题相对于由void idemposium系列的序列组成的序列，具有不同的完美代数独立性，而另一个则是构建一个多变量函数，以作为完美代数独立性的扩展概念的示例。在这里，一个函数具有完美的代数独立性是指该域内的所有点的无限函数值集，该函数值由代数数作为组件组成，成为代数独立性。此外，当该点的任何阶阶的所有差分系数都是代数独立性时，该函数具有差异的完美代数独立性。关于以前的任务，任务是给出最简单形式的线性回归序列，作为由功率系列指数形成的序列。换句话说，为了由didemunite定义的函数，在该函数中，线性回归序列似乎是指数，具有差分完美的代数独立性，形成指数的线性回归序列必须足够复杂，但是仍然存在一个问题，即至少确定它的复杂程度，无论是必要还是足够。在研究人员的研究直到2021年之前，揭示了最简单的线性回归序列是等距序列和等距序列的总和。但是，问题是存在示例的存在，在这种示例中，相等差异序列的公差的绝对值大于或等于2，并且具有差异的完美代数独立性。 2022年的一项研究对此问题进行了负面解决。也就是说，已经证明，KTH项的指数只是等距序列 +K或等距序列-K。后一个问题目前正在进行中，因此将在下面的“ 8。促进未来研究的措施”节中解释详细信息。 2022年的结果能够构建多变量函数，这些功能是对小排名二面体群体影响的完美代数独立性扩展概念的例子。

项目成果

Mahler's method for algebraic independence of partial derivatives of certain series in several variables

多变量中某些级数偏导数的代数独立性的马勒方法

• 发表时间: 2023
• 作者: Koji Masumura;Muneyoshi Kanai;Miyuki Kawano-Kawada;Takayuki Sekito;Tomoyoshi Soga;Masaki Mizunuma;Haruki Ide and Taka-aki Tanaka
• 通讯作者: Haruki Ide and Taka-aki Tanaka

Algebraic independence of the values of power series and their derivatives generated by linear recurrences

线性递推生成的幂级数及其导数的代数独立性

• DOI: 10.3836/tjm/1502179362
• 发表时间: 2022
• 期刊: Tokyo Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.6
• 作者: Haruki Ide;Taka-aki Tanaka and Kento Toyama
• 通讯作者: Taka-aki Tanaka and Kento Toyama

On power series generated by simpler sequences and having strong algebraic independence properties

论由较简单序列生成且具有强代数独立性的幂级数

• 发表时间: 2022
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録
• 作者: TANAKA Taka-aki;TOYAMA Kento
• 通讯作者: TOYAMA Kento

より簡単な数列で生成され，強い代数的独立性を有する冪級数について

关于由更简单的序列生成并具有很强的代数独立性的幂级数。

• 发表时间: 2021
• 作者: Kamano Ken;Onozuka Tomokazu;田中 孝明
• 通讯作者: 田中 孝明