コンパクトミニツイスター空間とEinstein-Weyl空間に関する研究

種数1のコンパクトミニツイスター空間のうち、Joyceによる自己双対計量に付随する3次元ツイスター空間から次元簡約により得られるものについて、対応するEinstein-Weyl空間を考察した。これらのミニツイスター空間は4次元複素射影空間内の2つの2次超曲面の完全交叉として得られ、古典的にはセグレ曲面と呼ばれる一連の代数曲面のうちの1つのクラスである。ミニツイスター空間をこのようにとらえたとき、ミニツイスター直線は曲面にちょうど一点で接する超平面による切断として得られる。曲面上に接点を指定したとき、そこで接する超平面はペンシルをなす。このことを用いてミニツイスター直線のなす空間、すなわちミニツイスター空間に対応するEinstein-Weyl空間を調べた。実構造を考えない場合、これはミニツイスター空間の双対多様体のザリスキー開集合となる。上記の3次元ツイスター空間との関連により定まる実構造により不変なミニツイスター直線のなす空間を考察した。これは実なEinstein-Weyl多様体を考えることに相当する。この研究の主結果として、このようにして得られる3次元実Einstein-Weyl多様体は球殻(spherical shell)と微分同相であり、その上の空間的測地線がすべて閉じていることを示した。その際にもっとも非自明な点は、超平面切断として既約なものだけでなく、可約なものもミニツイスター直線として扱えることを示すことにある。これはこれまでのミニツイスター理論においては見出されていなかったとことであり、上記主結果の証明の方法からも重要な事実であると考えられる。

種数1のコンパクトミニツイスター空間のうち、Joyceによる自己双対計量に付随する3次元ツイスター空間から次元簡約により得られるものについて、対応するEinstein-Weyl空間を考察した。これらのミニツイスター空間は4次元複素射影空間内の2つの2次超曲面の完全交叉として得られ、古典的にはセグレ曲面と呼ばれる一連の代数曲面のうちの1つのクラスである。ミニツイスター空間をこのようにとらえたとき、ミニツイスター直線は曲面にちょうど一点で接する超平面による切断として得られる。曲面上に接点を指定したとき、そこで接する超平面はペンシルをなす。このことを用いてミニツイスター直線のなす空間、すなわちミニツイスター空間に対応するEinstein-Weyl空間を調べた。実構造を考えない場合、これはミニツイスター空間の双対多様体のザリスキー開集合となる。上記の3次元ツイスター空間との関連により定まる実構造により不変なミニツイスター直線のなす空間を考察した。これは実なEinstein-Weyl多様体を考えることに相当する。この研究の主結果として、このようにして得られる3次元実Einstein-Weyl多様体は球殻(spherical shell)と微分同相であり、その上の空間的測地線がすべて閉じていることを示した。その際にもっとも非自明な点は、超平面切断として既約なものだけでなく、可約なものもミニツイスター直線として扱えることを示すことにある。これはこれまでのミニツイスター理論においては見出されていなかったとことであり、上記主結果の証明の方法からも重要な事実であると考えられる。