周期と安定性条件の対応によるホモロジー的ミラー対称性の精密な理解

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今年度は、ホモロジー的ミラー対称性のB模型側に現れる三角圏の安定性条件の空間と対応すると思われるフロべニウス構造についての基本的な研究を実施した。A模型側で境界付き実曲面に対する深谷圏を考えた時、それに対応する非可換代数はgentle代数と呼ばれるクラスになることが、Haiden-Katzarkov-Kontsevichにより示されおり、近年、このミラー対称性による対応を通して、曲面の幾何学とgentle代数上の加群の導来圏の関係性の研究は活発に研究が行われている。今年度は、このgentle代数の加群の導来圏の安定性条件の空間を考えた時、この上に構成されることが期待されるフロべニウス多様体の構造を、曲面から自然に現れる拡張ルート系に付随した不変式論を用いて構成することを目標として、共同研究を大阪大学の高橋氏、白石氏、大谷氏と共同で実施した。この不変式に付随したフロべニウス多様体の平坦計量の計算は、実験をするための一番非自明で簡単な例の計算がすでにステップ数が多く、各ステップごとの計算量も多いので手計算では厳しいものである。そこで、今年度は　科研費で高性能のPCを購入し、Pythonで全計算ステップを自動で処理するプログラムを組み、そのプログラムを用いて具体例を計算したところ、拡張ルート系からフロべニウス多様体の平坦計量が現れる様子が観察できたので、この結果を元に、現在一般論の証明を進めている段階である。また、affine cusp polynomialに関連するクラスに関しては、研究のヒントとなる論文が見つかったので、それを元に、最近、大阪大学の大谷氏と清華大学のQiu Yu氏と共に議論をスタートさせたところである。