団代数に付随する行列族の性質の解明とその応用

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令和4年度は，有限型団代数，GLS道代数，ルート系から定まる交換箙が一致することの証明に取り組んだ．有限型団代数の団，GLS道代数のτ傾ペア，ルート系のcクラスターの間には1:1対応が存在することが知られており，その1:1対応はそれらがなす交換グラフの同型を導くことが（一部論文化されてはいない部分があったものの）知られていた．3つの各交換グラフは，それぞれの辺に各分野の定式化を用いて「自然な向き」を定めることができ，それを用いた研究も行われていたが，この3つの向きの入れ方が一致することを全てのクラスで明示的に示した論文は存在していなかった．そこで私は，1つにまとまっている文献のない3つの交換グラフの同型について議論し，さらにそれぞれの交換箙が一致することについての議論を1つの論文にまとめた．さらにその応用として，Ingalls-Thomasによって示されていた道代数のねじれ束とsimply-lacedなカンブリアン束の束同型の関係を，GLS道代数のねじれ束とsimply-lacedでないカンブリアン束の間の束同型に拡張した．証明の手法としては，有限型団代数とGLS道代数の間の交換箙の同型は，箙の向きを定めるcベクトルの（符号を除いた）一致を証明している．有限型団代数とルート系の間の交換箙の同型，GLS道代数とルート系の間の交換箙の同型については，τ_cと書かれる特別な全単射対応の逆変換がある条件下で矢印の向きを保つ性質を利用して証明している．