Algebraic analysis of deformations of non-isolated singularities, computational complex analysis and algorithms

代数解析の理論に基づくことで, 特異点の複素解析的諸性質を研究している。研究では特異点に対し多項式環, 収束冪級数環におけるイデアルを考察し様々な操作を施すことで特異点の複素解析的性質や不変量を求めることを行う。ホロノミーD-加群と呼ばれる偏微分方程式系を研究するため, 偏微分作用素やPBW代数等の非可換環におけるイデアルを扱う。さらに, ホロノミーD-加群の解析にlocal cohomologyを用いる。さて, 特異点変形族の研究では, これらのイデアルに変形パラメータが含まれ, その構造はパラメータに依存することになる。イデアルの構造がパラメータにどのように依存しているかを決定するために, 包括的グレブナ系(comprehensive Groebner system), 包括的スタンダード系(comprehensive standard system)の理論と計算アルゴリズムを用いている。Comprehensive systemの考え方に基づくことで, 特異点の複素解析的不変量を求める様々なアルゴリズムを導入し, 改良を加え, 数式処理システムへのプログラムの実装を行っている。孤立特異点をもつ超曲面変形族に関しては, 有理関数体を係数にもつcomprehensive standard systemの概念を導入し, Bertini型の複素解析的不変量を求める新たな枠組みを創った。孤立していない特異点を持つ超曲面に対し, それに付随するホロノミーD-加群の構造を研究している。ホロノミーD-加群の構造を解析する際, local cohomologyを用いるが, local cohomologyを扱う上で, ネター作用素が重要となる。本研究で, 零次元の準素イデアルに対するネター作用素を求めるアルゴリズムを数式処理システムに実装した。

代数解析の理論に基づくことで, 特異点の複素解析的諸性質を研究している。研究では特異点に対し多項式環, 収束冪級数環におけるイデアルを考察し様々な操作を施すことで特異点の複素解析的性質や不変量を求めることを行う。ホロノミーD-加群と呼ばれる偏微分方程式系を研究するため, 偏微分作用素やPBW代数等の非可換環におけるイデアルを扱う。さらに, ホロノミーD-加群の解析にlocal cohomologyを用いる。さて, 特異点変形族の研究では, これらのイデアルに変形パラメータが含まれ, その構造はパラメータに依存することになる。イデアルの構造がパラメータにどのように依存しているかを決定するために, 包括的グレブナ系(comprehensive Groebner system), 包括的スタンダード系(comprehensive standard system)の理論と計算アルゴリズムを用いている。Comprehensive systemの考え方に基づくことで, 特異点の複素解析的不変量を求める様々なアルゴリズムを導入し, 改良を加え, 数式処理システムへのプログラムの実装を行っている。孤立特異点をもつ超曲面変形族に関しては, 有理関数体を係数にもつcomprehensive standard systemの概念を導入し, Bertini型の複素解析的不変量を求める新たな枠組みを創った。孤立していない特異点を持つ超曲面に対し, それに付随するホロノミーD-加群の構造を研究している。ホロノミーD-加群の構造を解析する際, local cohomologyを用いるが, local cohomologyを扱う上で, ネター作用素が重要となる。本研究で, 零次元の準素イデアルに対するネター作用素を求めるアルゴリズムを数式処理システムに実装した。