割引因子を持つ確率制御問題に対する最適軌道の相転移と割引因子消滅極限

本年度は、優線形なラグランジアンと有界かつ内向きのドリフト項を持つ確率的変分問題の最適軌道が、空間遠方で多項式減衰するポテンシャル項の摂動に対してどのように振る舞うのかについて考察した。特に、最適軌道の長時間挙動が大きく変化する臨界点における様子を詳しく調べた。確率的変分問題に付随するエルゴード型粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の一般化主固有値を摂動パラメータに関する関数とみなすとき、適当な付加条件の下でこの関数は狭義単調増加な部分と平坦な部分に分かれる。摂動パラメータの値が狭義単調増加な部分にあれば確率的変分問題の最適軌道は正再帰的であり、平坦な部分にあれば過渡的であることがこれまでの研究により示されている。一方で、狭義単調増加な部分と平坦な部分の境界点（臨界点）における最適軌道の長時間挙動は完全には解明されていない。本年度の研究では摂動パラメータが臨界点にある場合について主に考察した。具体的には、最適軌道の再帰性を判定するために用いられるリヤプノフの方法を精密化することにより、臨界点直上においても判定可能な方法論を構築した。その結果、ある条件の下では最適軌道が零再帰性と呼ばれる弱い再帰性を持ち得ることがわかった。臨界点以外での最適軌道の長時間挙動は正再帰的であるか過渡的であるかのいずれかであることが既にわかっているので、臨界点では他の点では起こらない現象が起こり得ることが確認できた。

本年度は、優線形なラグランジアンと有界かつ内向きのドリフト項を持つ確率的変分問題の最適軌道が、空間遠方で多項式減衰するポテンシャル項の摂動に対してどのように振る舞うのかについて考察した。特に、最適軌道の長時間挙動が大きく変化する臨界点における様子を詳しく調べた。確率的変分問題に付随するエルゴード型粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の一般化主固有値を摂動パラメータに関する関数とみなすとき、適当な付加条件の下でこの関数は狭義単調増加な部分と平坦な部分に分かれる。摂動パラメータの値が狭義単調増加な部分にあれば確率的変分問題の最適軌道は正再帰的であり、平坦な部分にあれば過渡的であることがこれまでの研究により示されている。一方で、狭義単調増加な部分と平坦な部分の境界点（臨界点）における最適軌道の長時間挙動は完全には解明されていない。本年度の研究では摂動パラメータが臨界点にある場合について主に考察した。具体的には、最適軌道の再帰性を判定するために用いられるリヤプノフの方法を精密化することにより、臨界点直上においても判定可能な方法論を構築した。その結果、ある条件の下では最適軌道が零再帰性と呼ばれる弱い再帰性を持ち得ることがわかった。臨界点以外での最適軌道の長時間挙動は正再帰的であるか過渡的であるかのいずれかであることが既にわかっているので、臨界点では他の点では起こらない現象が起こり得ることが確認できた。