非線形偏微分方程式に対する均質化問題への後ろ向き確率微分方程式によるアプローチ

求解非线性偏微分方程均匀化问题的逆向随机微分方程方法

• 批准号: 05J09265
• 负责人: 市原 直幸
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05J09265/
• 关键词: Hamilton-Jacobi方程式; 粘性解; 確率制御; 弱KAM理論; 確率論; 後ろ向き確率微分方程式; 均質化; 偏微分方程式; Bellman方程式

非線形編微分方程式の中でも重要な方程式の一つであるHamilton-Jacobi方程式に対するCauchy問題の解の長時間挙動に関する成果を得た.具体的には,長時間経過後に解がある種の定常状態へ収束することを適当な条件の下で示し,その定常状態の詳しい性質を考察した.係数および初期条件に周期性のある場合はいくつかの先行研究が存在する一方で,周期性が少しでも崩れた場合の解の収束は一般には保証されないことが知られている.私は石井仁司氏(早稲田大学)との共同研究において,係数および初期条件がある種の概周期的な構造を持つ場合は,与えられた方程式の解が適切な意味で収束することを示し,定常状態の構造に関する結果を得た.定常状態を記述する方程式の解の特徴付けにはAubry集合と呼ばれる集合が重要な役割を果たすが,私の結果はこの集合が空集合になる場合も含んでいるところが新しい点の一つである.この場合,Aubry集合は"無限遠方"に隠れていると思うことで従来と類似の主張が成立する.以上の成果はイタリアおよびドイツにおける国際研究集会,あるいはいくつかの国内研究集会において発表された.また,確率制御理論と関連の深いHamilton-Jacobi-Bellman方程式に対して同様の問題を考えた場合と先の研究との相違点を考察した.Aubry集合という概念は2階の偏微分方程式に対しては定義できないが,力学系的視点から見た場合Aubry集合が空集合であるという上述の主張は,フィードバックを受けた制御過程の非再帰性にほぼ対応する.そこで,この種の問題の専門家であるAcademia SinicaのS.J.Sheu教授と議論し,一定の方向性を得た.特に,方程式の係数が周期構造を持つとき,上述の問題は均質化現象と深く関係する.

A set of important equations in nonlinear differential equations is obtained. The Hamilton-Jacobi equation is used to solve Cauchy problem. Specific, after a long period of time to solve the steady state of the beam, under appropriate conditions, the steady state of the detailed nature of the investigation. Coefficients are periodic in the initial condition, and prior studies exist in the case of periodicity. In the joint research of Hitoshi Ishii (Waseda University), the coefficients and initial conditions of the structure of the approximate period are determined, and the solutions of the equations are determined. The characteristic of the solution of the equation described in the steady state is that the Aubry set and the call set are important, the result is that the set is empty, and the case contains the new point. In this case,Aubry set is "infinite distance" and similar claims hold. The above achievements were published in the International Research Conference and the Domestic Research Conference. In this paper, the author discusses the problem of exact rate control theory and the relation between Hamilton-Jacobi-Bellman equations, and discusses the contradiction between them.Aubry sets and the concept of partial differential equations of order 2. Aubry sets and the viewpoint of mechanical systems. Professor S. J. Sheu of Academia Sinica commented on the problem and got a certain direction. In particular, the coefficients of the equation are periodic structures, and the above problems are homogenization phenomena and deep relationships.

项目成果

Asymptotic solutions of Hamilton-Jacobi equations with non-periodic perturbations

具有非周期扰动的 Hamilton-Jacobi 方程的渐近解

• 发表时间: 2007
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録 No.1542
• 作者: Yamamoto;S.;Maekawa;K.;Tamate;T.;Koizumi;I.;Hasegawa;K.;Kubota;H.;Naoyuki Ichihara
• 通讯作者: Naoyuki Ichihara

Asymptotic solutions of a class of Hamilton-Jacobi equations

一类 Hamilton-Jacobi 方程的渐近解

• 发表时间: 2007
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録 No.1545
• 作者: Hasegawa;K.;Maekawa;K.;Naoyuki Ichihara
• 通讯作者: Naoyuki Ichihara

A stochastic representation for fully nonlinear PDEs and its application to homogenization

全非线性偏微分方程的随机表示及其在均质化中的应用

• 发表时间: 2005
• 期刊: Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo 12, no.3
• 作者: Yamamoto;S.;Maekawa;K.;Tamate;T.;Koizumi;I.;Hasegawa;K.;Kubota;H.;Naoyuki Ichihara;Naoyuki Ichihara;Koh Hasegawa;Naoyuki Ichihara
• 通讯作者: Naoyuki Ichihara

Asymptotic Solutions of Hamilton–Jacobi Equations with Semi-Periodic Hamiltonians

• DOI: 10.1080/03605300701257427
• 发表时间: 2008-04
• 期刊: Communications in Partial Differential Equations
• 影响因子: 1.9
• 作者: Naoyuki Ichihara;H. Ishii

Homogenization of fully nonlinear PDEs and backward SDEs

全非线性 PDE 和后向 SDE 的齐次化

• 发表时间: 2006
• 期刊: 京都大学数理解析研究所講究録 (印刷中)
• 作者: Yamamoto;S.;Maekawa;K.;Tamate;T.;Koizumi;I.;Hasegawa;K.;Kubota;H.;Naoyuki Ichihara;Naoyuki Ichihara
• 通讯作者: Naoyuki Ichihara