Long-term behavior of stochastic models on lattices with spatio-temporal interactions

点击翻译按钮获取中文摘要

研究計画に従って時間的・空間的に相互作用をもつ確率モデルの研究を進めた．その結果，(1) ファーストパッセージパーコレーション問題における極限定理，(2) 記憶のあるランダムウォークに対する極限定理，(3) 記憶のあるランダムウォークの極限定理を応用した至る所微分不可能な連続関数の性質の研究について新たな知見を蓄積することができた．特に，(2)のテーマについて得られた成果について述べる．Elephant random walk with stopsは，"step-reinforcement"と呼ばれる仕組みにより推移確率が変動する離散時間ランダムウォークであり，左右の隣接点に移動する他，その場で留まることも許したものである．「その場で留まる」確率rを固定したときに，記憶と同じ向きに進む度合いを表すもうひとつのパラメータpに応じて3つの異なる相が生じるが，r>0の場合，r=0である通常のelephant random walkとは量的にも質的にも異なる極限挙動を示すことがBercu (2022)等によって示されている．横浜国立大学の秋元達哉氏・谷口恵祐氏と共同で，r>0の場合の長時間挙動を記述する極限定理について研究した．時刻nまでに訪問した点の総数の増大度について研究し，r,pに応じて多様な挙動が生じることを示した．また，r>0の場合に時刻nまでにウォーカーが移動した回数と時刻nでのウォーカーの位置の相関係数について調べ，ある種の特別な状況を除いてはpに応じてn→∞での挙動に3つの異なる様相が見られることを証明した．この成果を論文としてとりまとめているところである．