Geometric analysis of partial differential equations and inverse problems

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研究の目的は偏微分方程式で記述される問題の解の幾何学的性質の探求を主眼に, 偏微分方程式を介在として, 近年発展の目覚ましい幾何解析と逆問題の視点を有機的に結びつけ, それらをより一層発展させることである。本年度の主な研究成果は２つある。一つは, ユークリッド空間が有限個の有界領域からなる媒質とそれ以外の非有界媒質からなる二相熱伝導体のとき, 初期温度が片方の相の特性関数であって, 界面が不変等温面（常に等温面になっている曲面）ならば, 有限個の有界領域からなる媒質は一つの球に限ることをSerrin（1971年)の平面移動法を直接２つの媒質に同時に適用する新しい手法により示したことである。内部領域のみの問題や外部領域のみの問題については一般の線形および非線形楕円型方程式にSerrin（1971年)の平面移動法は適用されて来たが, 内部領域と外部領域に同時に適用するのはこの研究が初めてであった。ここでは界面での伝送条件が重要な役割を演じた。もう一つは, 熱方程式の解の不変臨界点（常に温度の臨界点になっている点）または不変零点（常に温度零の点）の存在と領域の対称性に関するMagnanini-Sakaguchi(1997,1999年)の結果を部分的に分数冪熱方程式に対して示したことである。有界領域上の斉次ディリクレ境界条件は熱方程式の場合は境界上のみで与えられるが分数冪熱方程式の場合は領域の外部全てで与えられる。熱方程式の場合に使えた手法が非局所方程式である分数冪熱方程式に対して使えるとは限らず新たな困難さを克服する必要があった。 例えば, 熱方程式の場合に役に立ったラプラス作用素の極座標表示が分数冪熱方程式については使えない困難さを別の方法で克服した。なお, 本成果は学術雑誌に論文を投稿中である。