非線形放物型初期境界値問題における解の対称性及び幾何学的性質

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主な研究目的は,非線形放物型および楕円型方程式の境界値問題において,領域の形状と解の形状との関わりを知ることであった。主な研究成果は二つある。一つは過度境界条件を課す完全非線形楕円型境界値問題による楕円体の特徴付けを与えたことであり,もう一つは準線形放物型初期境界値問題の解の挙動に関する研究成果である。前者において,一般次元ユークリッド空間内の有界領域上であるクラスの完全非線形楕円型方程式を考えた。領域の境界上で斉次ディリクレ条件を満たす解かもし境界と相似な一つの等位面をもつならば解は2次式であって領域は楕円体に限ることを示した。また,境界上に等式または不等式で与えられる過度境界条件を課す楕円型境界値問題が解をもつならば領域は楕円体に限ることを示した。これらの結果を共著論文「Some fully nonlinear elliptic boundary value problems with ellipsoidal free boundaries」(国際学術誌に投稿中)にまとめた。球の特徴付けの定理はJ.Serrin(Arch.Rational Mech.Anal.43(1971),304--318)に始まり,現在に至るまで多くの研究者によって既にさまざまな楕円型境界値問題に対して多くの定理が得られているが,楕円体の特徴付けの定理は少なく,この共同研究による成果は意味がある。実際,2008年9月の広島大学への招聘の際,専門家のG.A.Philippin教授からもよい評価を受けた。後者の研究成果は,ある新しいクラスの準線形放物型方程式の初期境界値問題の解の爆発や指数減衰のための十分条件を与えたことである。(研究発表に記載の論文:C.Enache,Nonlinear Analysis 69-9(2008),2864-2874)