Construction of a new mathematical model of grain boundary motion and development in the theory of differential equations

空間不均一な拡散性とエネルギー則をみたす非線形Fokker-Planck系の解の存在と長時間挙動の解析を行った，空間不均一な拡散性とエネルギー則を両立するためには，空間不均一性により生じる対数非線形性を取り扱う必要がある．この対数非線形性は，線形拡散に対して尺度臨界な非線形性となることがわかった．この非線形Fokker-Planck系に対し，線形化と放物型Schauder理論を用いて時間局所可解性を示した．次に，エントロピー消散法を空間不均一な拡散性に拡張することによって，解の長時間挙動，とくに可積分空間における平衡解の指数安定性を考察した．この拡張は，質量保存則における速度ベクトルの時間発展に着目したものであり，Fokker-Planck方程式のみならず，質量保存則を基礎におく様々な数理モデルに適用可能であると考えられる．次に，結晶成長の数理モデルの理解のためにグラフ解に対するLojasiewicz-Simonの勾配不等式の研究を行った．数理モデルの導出過程より，考察すべきエネルギー汎関数は自明であるが，これに対して勾配不等式を考察すべき関数空間の設定は自明でない．本研究において，数理モデルの解が持つ性質を関数空間にとりこむことで，Sobolev空間を基礎空間として，結晶成長の数理モデルに関係するエネルギー汎関数に対するLojasiewicz-Simon勾配不等式の導出を行った．現在，この勾配不等式を用いて，グラフ解の長時間挙動を考察している．結晶成長の数理モデルの理解には，三重点と呼ばれる，結晶粒界が交わる点を考察する必要がある．エネルギー消散を課したとき，この問題は微分方程式の境界条件に時間発展を課した動的境界条件の問題になる．境界条件の詳しい解析のために，非局所項を持つ境界条件を課した楕円型方程式の可解性とパラメータとの関係を考察した．

空間不均一な拡散性とエネルギー則をみたす非線形Fokker-Planck系の解の存在と長時間挙動の解析を行った，空間不均一な拡散性とエネルギー則を両立するためには，空間不均一性により生じる対数非線形性を取り扱う必要がある．この対数非線形性は，線形拡散に対して尺度臨界な非線形性となることがわかった．この非線形Fokker-Planck系に対し，線形化と放物型Schauder理論を用いて時間局所可解性を示した．次に，エントロピー消散法を空間不均一な拡散性に拡張することによって，解の長時間挙動，とくに可積分空間における平衡解の指数安定性を考察した．この拡張は，質量保存則における速度ベクトルの時間発展に着目したものであり，Fokker-Planck方程式のみならず，質量保存則を基礎におく様々な数理モデルに適用可能であると考えられる．次に，結晶成長の数理モデルの理解のためにグラフ解に対するLojasiewicz-Simonの勾配不等式の研究を行った．数理モデルの導出過程より，考察すべきエネルギー汎関数は自明であるが，これに対して勾配不等式を考察すべき関数空間の設定は自明でない．本研究において，数理モデルの解が持つ性質を関数空間にとりこむことで，Sobolev空間を基礎空間として，結晶成長の数理モデルに関係するエネルギー汎関数に対するLojasiewicz-Simon勾配不等式の導出を行った．現在，この勾配不等式を用いて，グラフ解の長時間挙動を考察している．結晶成長の数理モデルの理解には，三重点と呼ばれる，結晶粒界が交わる点を考察する必要がある．エネルギー消散を課したとき，この問題は微分方程式の境界条件に時間発展を課した動的境界条件の問題になる．境界条件の詳しい解析のために，非局所項を持つ境界条件を課した楕円型方程式の可解性とパラメータとの関係を考察した．