偏微分方程式論を用いた動く界面の正則性の解析

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前年に引き続き,退化放物型方程式の解の正則性と退化Keller-Segel系の解の漸近挙動について研究した.前年において,多孔質媒質方程式の外力の正則性と解の正則性が定性的には熱方程式と同様に振る舞うことを確認した.このことから,多孔質媒質方程式と関係の深い発展p-Laplace方程式においても同様の結論が予想でき,実際に三沢氏の論文において示唆されていた.我々は時間変数に関する平滑化効果も取り入れることにより,三沢氏の結果を拡張するとともに,より自然な仮定の下で発展p-Laplace方程式の解のヘルダー正則性を導出することができた.この結果は査読雑誌に投稿中である.次に退化Keller-Segel系の解の漸近挙動と初期値の関係を考察した.前年に得られた結果では,初期値に高次のモーメント有界性を仮定することで解の一様漸近評価を導出したが,この高次モーメントの仮定は不自然であると考えられる.この仮定は解の正則性を導出するためであるが,本質的には解の重み付き可積分性評価が導出できれば十分である.そのため,初期値のモーメント有界性から重み付き可積分性が得られるかが問題になる.我々は熱方程式において初期値のモーメント有界性から重み付き可積分性が得られることを確認し,その手法を退化Keller-Segel系に応用した.退化Keller-Segel系は熱方程式と違い,時間微分と空間微分に対する斉次性がないため,重み付き関数のずれが生じる.この問題を解決するために,Caffarelli-Kohn-Nirenbergによる重み付きGagliardo-Nirenbergの不等式を用いて修正カチアポリ評価の導出を考察中である.修正カチアポリ評価が導出できれば,Nash-Moserの繰り返し法を用いることによって,解の重み付き可積分性評価と初期値のモーメント有界性が明らかになると考えられる.