特異積分と関数空間の研究(多重線形作用素の理論の深化)

奇异积分和函数空间的研究（深化多线性算子理论）

• 批准号: 22K03393
• 负责人: 古谷 康雄
• 金额: $ 1.25万
• 依托单位: Tokai University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03393/
• 关键词: 特異積分作用素; ハーディー空間; 局所ハーディー空間; クリフォード代数; 特異積分; 多重線形作用素; 分数べき作用素; 重み付き評価

研究課題の一つである「特異積分作用素の様々な関数空間上での有界性」に関して長年研究を続けてきた．合成積の形で表されていない一般化された特異積分作用素は様々な応用のある重要な作用素である．このLp空間上の有界性は「T1定理」という美しい理論が既に知られていた．一方ハーディー空間上での有界性に関してはハーディー空間の特殊性から「T1=0」というとても強い条件の下での有界性しか知られていなかった．しかしこの条件は特異積分作用素の形にとても強い制限を加えており，応用範囲が非常に限られてしまっていた．我々はその条件を弱めた「T1がリプシッツクラスに属する」という条件の下での有界性に関する定理を2002年に証明した．この定理を重要な作用素に応用することを目標にしてきた．まずカルデロンの交換子作用素に応用できることが分かった．さらに複素関数論とも結びつきの強い重要な作用素で，カルデロンの作用素が導出された起源となるコーシー積分作用素については新たに「Tb定理をハーディー空間に応用する」という新しいアイデアの下で応用できることが分かった．今回は長年の懸案であったこれらの作用素のn次元版であり，偏微分方程式とも結びつきが深い「2重電気層ポテンシャル作用素のハーディー空間から局所ハーディー空間への有界性」を証明することができた．この証明にはクリフォード代数上のハーディー空間を新しく定義して，その上で理論を作り，そのベクトルの第一成分が通常のハーディー空間になることを使って目標の定理を証明した．

我们多年来一直在研究我们的研究主题之一，即“各种功能空间中奇异积分运营商的界限”。不以合成产品形式表达的广义奇异积分运算符是具有多种应用的重要操作员。 LP空间中有界界的美丽理论，称为“ T1定理”。另一方面，关于耐力空间中的界限，仅在非常强的条件下，“ T1 = 0”的界限才是由于耐寒空间的特殊性而知道的。但是，这种情况对单数积分运算符的形式构成了非常强烈的限制，并且应用程序的范围非常有限。我们在2002年证明了在“ T1属于Lipschitz类”的条件下的界限定理，从而削弱了这种情况。该定理的目的是将其应用于重要的操作员。首先，发现它可以应用于Calderone的交换器操作员。此外，已经发现，Cauchy积分操作员是重要的操作员，它们与复杂的功能理论密切相关，并且可以在“将TB定理应用于Hardy Space应用于Calderon operators的起源”。这次，我们是这些运算符的N维版本，这是一个长期关注的问题，我们能够证明“从强硬空间到本地耐力空间的双电层潜在运算符的边界性质”与部分微分方程密切相关。该证明是对Clifford代数上Hardy空间的新定义，并在其上创建了一个理论，并使用向量的第一个组成部分成为正常耐力空间的事实证明了目标定理。