HDG法における反復型領域分割法の開発

HDG方法中迭代区域分割方法的发展

• 批准号: 22K03432
• 负责人: 及川 一誠
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03432/
• 关键词: 数値解析; HDG法

2次元Poisson方程式のDirichlet境界値問題をモデル問題とし，HDG (Hybridizable Discontinuous Galerkin) 法の非重複領域分割法 (non-overlapping domain decomposition method) に基づく反復解法に関する研究を行った．対象領域は重複のない2つのサブドメインに分割されているという比較的単純な状況を仮定した．非重複領域分割法では，サブドメイン間のインタフェース上で連続性に関するある条件を満たすように，それぞれのサブドメイン上でPoisson方程式を解くことが要求される．これを実現するために通常の有限要素法では，Dirichlet-Neumann交代アルゴリズムおよび Neumann-Neumann法，FETI (Finite Element Tearing and Interconnecting)法 (あるいは，Dirichlet-Dirichlet法) の3手法が有効であることが知られている．これらの3手法のアイデアに基づき，サブドメイン間のインターフェースにおいて数値トレースおよび数値流束を適切に導入することで，HDG法においても非重複領域分割法の反復解法が導出できることがわかった．有限要素法ではインターフェース上の厳密解の勾配は方程式の残差の形に書き直してから離散化を行う必要があったのに対し，提案手法ではそのような操作が必要ないという点で異なる．適合有限要素法と提案手法について数値計算を実施して比較したところ，提案手法は適合有限要素法と同様に良好な収束性を示すことが確認できた．

使用2D Poisson方程的Dirichlet边界值问题作为模型问题，我们根据基于HDG的非重叠结构域分解方法进行了一项研究，研究了HDG（可混合不连续的Galerkin）方法。我们假设一种相对简单的情况，其中感兴趣的领域被分为两个子域而没有重叠。非重叠区域需要求解每个子域上的泊松方程，以满足子域之间接口上连续性的某些条件。为了实现这一目标，众所周知，三种方法在通常的有限元方法中有效：Dirichlet-Neumann交替算法，Neumann-Neumann方法和Feti（有限元撕裂和互连）方法（或Dirichlet-Dirichlet方法）。基于这三种方法的思想，发现通过在子域之间的接口中正确引入数值迹线和数值通量，即使在HDG方法中，也可以得出非重叠区域分裂方法的迭代解决方案。在有限元方法中，在执行离散化之前，必须将界面上精确解的梯度重写为方程的残差形式，而所提出的方法则不同，因为不需要这种操作。当进行数值计算并与所提出的方法进行比较时，已证实该方法表现出良好的收敛性，类似于拟合有限元方法。