ハイブリッド型不連続Galerkin法の新展開

ハイブリッド型不連続Galerkin法(Hybridizable Discontinuous Galerkin; HDG)法に関して，新手法の研究を行った．従来のHDGにおいては，厳密解の要素間境 界上でのトレースの近似(数値トレース)を未知関数とし，数値流束は与えられた近似解から計算されるものであった．逆に，数値流束を未知関数とし，数値と レースを近似解から計算する手法も知られている．本研究では，数値トレースと数値流束の両方を未知関数とする手法の提案と解析を行った.提案手法におい て，数値トレースと数値流束の間に適切な束縛条件を弱い意味で課したとき，well-posednessかがきちんと成立することがわかった．さらに，Lehrebfeld- Sch\"oberl安定化が陰的に含まれ，近似解は多角形要素において自動的に超収束性が得られることもわかった．滑り境界条件の有限要素近似の研究も共同研究として行った．滑り境界条件を有限要素近似する場合，境界が曲がっている場合，no-slip境界条件と同値になっ てしまうため，うまくいかないことが知られている．本研究では，その解決策として滑り境界条件のペナルティ法及び非適合有限要素を用いることを提案している．本年度は，Crouzeix-Raviart非適合有限要素近似を滑り境界条件問題に適用した場合の数値実験及び数学解析を行った．メッシュサイズを$h$とすると，空間3次元の場合，$O(h^{1/2})$の誤差評価が得られた．滑り境界条件を課さないあるいはぺナルティ係数が非常に小さい場合に，収束オーダーが実際に$O(h^{1/2})$になることを数値実験で実証した.

ハイブリッド型不連続Galerkin法(Hybridizable Discontinuous Galerkin; HDG)法に関して，新手法の研究を行った．従来のHDGにおいては，厳密解の要素間境 界上でのトレースの近似(数値トレース)を未知関数とし，数値流束は与えられた近似解から計算されるものであった．逆に，数値流束を未知関数とし，数値と レースを近似解から計算する手法も知られている．本研究では，数値トレースと数値流束の両方を未知関数とする手法の提案と解析を行った.提案手法におい て，数値トレースと数値流束の間に適切な束縛条件を弱い意味で課したとき，well-posednessかがきちんと成立することがわかった．さらに，Lehrebfeld- Sch\"oberl安定化が陰的に含まれ，近似解は多角形要素において自動的に超収束性が得られることもわかった．滑り境界条件の有限要素近似の研究も共同研究として行った．滑り境界条件を有限要素近似する場合，境界が曲がっている場合，no-slip境界条件と同値になっ てしまうため，うまくいかないことが知られている．本研究では，その解決策として滑り境界条件のペナルティ法及び非適合有限要素を用いることを提案している．本年度は，Crouzeix-Raviart非適合有限要素近似を滑り境界条件問題に適用した場合の数値実験及び数学解析を行った．メッシュサイズを$h$とすると，空間3次元の場合，$O(h^{1/2})$の誤差評価が得られた．滑り境界条件を課さないあるいはぺナルティ係数が非常に小さい場合に，収束オーダーが実際に$O(h^{1/2})$になることを数値実験で実証した.