不連続Galerkin法による偏微分方程式の数値解析の研究

偏微分方程间断伽辽金法数值分析研究

基本信息

批准号：
09J05654
负责人：
及川一誠
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2010
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J05654/
关键词：
有限要素法不連続ガレルキン法数値解析ハイブリッド法

项目摘要

本年度は主に、『ハイブリッド型不連続ガレルキン法(Hybridized Discontinuous Galerkin Method)』による一階線形変微分方程式並びに定常移流拡散方程式の新しい近似スキームの考案と、その新スキームの数学的な理論解析を行った。まず初めに、移流項が定数係数の場合に関して、各要素境界を風上と風下の2種類に分けることにより、近似スキームを作成することに成功した。次に、理論的により扱い安いようにしようと、新たに上流化のテクニックを導入し、そのスキームをより一般的なスキーム仕上げた。その結果、移流項の係数が、変数係数の場合にも適用できるように拡張することにも成功した。新スキームの近似解がきちんと厳密解にメッシュサイズを0に近づけたときに漸近的に収束することと、近似解の安定性の二点について、数学理論的な考察・証明も与えることができた。具体的には、新スキームの有界性・整合性・強圧性(coercivity)の三性質と、最良近似性の4つを証明した。また、実際に計算機を用いて、新スキームの数値計算をさまざまな例を対して実施した。それにより、(1)CG法・BiCG法・BiCGSTAB法などの、主要な連立一次方程式の反復法で実際に解き得ること、(2)近似解と厳密解との誤差の収束オーダーが自身が示した理論と一致すること、(3)従来の有限要素法と比べて近似解の安定性がかなり向上していることが確認できた。本研究で移流項の近似スキームが得られたことにより、Navier-Stokes問題などの流体問題にハイブリッド型不連続ガレルキン法の適用が可能になったこという点で、非常に有意義な結果が得られたと言える。

今年，我们主要为使用杂交不连续的Galerkin方法设计了一种新的近似近似方案，用于一阶线性变化微分方程和稳态对流扩散方程，并对新方案进行了数学理论分析。首先，如果对流术语是恒定系数的情况，我们通过将每个元素边界分为两种类型来成功创建了一个近似方案：前风和下风。接下来，为了使其在理论上更实惠，引入了一种新的上游技术，并以更一般的计划完成了该计划。结果，也成功地扩展了对流项的系数，以便将它们应用于可变系数的情况下。我们还提供了数学理论考虑和证明新方案的近似解决方案的两个点时，当网格大小接近零以零与精确解的零以及近似解决方案的稳定性时。具体而言，我们已经证明了新方案的四个属性：有限性，一致性和矫正性以及最佳近似值。此外，实际使用各种示例使用计算机执行了新方案的数值计算。这证实（1）可以使用主要同时线性方程（例如CG方法，BICG方法和BICGSTAB方法）的迭代方法实际求解，（2）近似溶液和精确溶液之间的错误和精确溶液之间的误差顺序与本身所提出的理论相吻合，以及（3）近似解决方案的元素与近似解决方案相比的稳定性相比，该方法的稳定性是典型的。这项研究为对流术语提供了一个近似的方案，该方案允许将混合不连续的Gallerkin方法应用于流体问题，例如Navier-Stokes问题，可以说已经获得了非常有意义的结果。