不連続Galerkin法による偏微分方程式の数値解析の研究

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本年度は主に、『ハイブリッド型不連続ガレルキン法(Hybridized Discontinuous Galerkin Method)』による一階線形変微分方程式並びに定常移流拡散方程式の新しい近似スキームの考案と、その新スキームの数学的な理論解析を行った。まず初めに、移流項が定数係数の場合に関して、各要素境界を風上と風下の2種類に分けることにより、近似スキームを作成することに成功した。次に、理論的により扱い安いようにしようと、新たに上流化のテクニックを導入し、そのスキームをより一般的なスキーム仕上げた。その結果、移流項の係数が、変数係数の場合にも適用できるように拡張することにも成功した。新スキームの近似解がきちんと厳密解にメッシュサイズを0に近づけたときに漸近的に収束することと、近似解の安定性の二点について、数学理論的な考察・証明も与えることができた。具体的には、新スキームの有界性・整合性・強圧性(coercivity)の三性質と、最良近似性の4つを証明した。また、実際に計算機を用いて、新スキームの数値計算をさまざまな例を対して実施した。それにより、(1)CG法・BiCG法・BiCGSTAB法などの、主要な連立一次方程式の反復法で実際に解き得ること、(2)近似解と厳密解との誤差の収束オーダーが自身が示した理論と一致すること、(3)従来の有限要素法と比べて近似解の安定性がかなり向上していることが確認できた。本研究で移流項の近似スキームが得られたことにより、Navier-Stokes問題などの流体問題にハイブリッド型不連続ガレルキン法の適用が可能になったこという点で、非常に有意義な結果が得られたと言える。