Mathematical and numerical analysis of Sobolev gradient flows appearing in interface and materials science

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L2内積に関する勾配流の数学解析は非常に進展しており，その数値解析手法も段々とではあるが洗練されてきている．本研究では，L2内積の代わりに高階のSobolev内積で勾配流を考え，その数学解析・数値解析を進めることが大きな目標である．本年度は，岡部真也氏（東北大学）ならびに森洋一朗氏（ペンシルベニア大学）との共同研究として，Langmuir膜の数理モデルを見直すことから始めた．その結果として，まず，Alexander等の数理モデルにおいて曲線の長さの減衰評価を斉次Sobolevノルムを用いて具体的に書き表すことに成功した．また，Stokes作用素に対するDirichlet-to-Neumann写像の基本解を具体的に求めることで，速度場の同値な別表現を得ることに成功した．これにより放物型偏微分方程式論の立場からの解析を進めることができるようになり，解の時間局所存在を示すところまであと一歩のところまで来ている．上記以外にも界面現象に関連する研究を推進し，（i）高次元領域におけるKobayashi-Warren-Carterエネルギーの特異極限の導出（上坂正晃氏，岡本潤氏，儀我美一氏との共同研究），（ii）接線速度込みのBスプライン曲線を用いた幾何学的勾配流の構造保存型数値解析（剱持智哉氏，宮武勇登氏との共同研究），（iii）反応拡散型樟脳モデルの特異極限（界面モデル）の導出およびそれらの数理解析（長山雅晴氏，物部治徳氏，中村健一氏，小林康明氏，北畑裕之氏との共同研究）も行い，（i）は論文が受理され，また（ii），（iii）は論文を投稿中である．