Construction of ultradiscrete dynamical systems for bifurcation phenomena in nonlinear nonequilibrium systems

連続系とセルオートマトン系の対応問題はWolframの9番目の問題として知られており、超離散化はこの問題に対するアプローチの1つと考えられている。超離散化は、SIRモデル、炎症反応のモデル、Fisher-KPP方程式、Allen-Cahn方程式、Gray-Scottモデル、反応拡散モデル、1次元力学系の標準型、Sel'kovモデル、van der Pol方程式などの非可積分なモデルにこれまで適用されてきた。ここで重要な点は、超離散化された方程式が元の方程式の力学的特徴をいかに保持しているか、また超離散化によって新たな力学的特徴がいかに導入されるかという点であり、導出された超離散系の力学的性質を明らかにし、元の系の性質と比較することは重要である。本研究では、超離散Sel'kovモデルにおける2つの極限サイクルC, C_sの力学的性質を解析的に調べた。極限サイクルのポアンカル写像を構築し、その安定性を明らかにした。その結果、Cはattractive, C_sはrepulsive であることがわかった。また、Csのベイスンについては、不安定な固定点の周りに特異的に分布しており、自己相似性を持っていることが分かった。さらに、可積分区分線形写像によって、超離散Sel'kovモデルにおける時間発展を状態空間中の多角形Γとして表現することができた。そして、上述のポアンカル写像がΓの線分の内部分割点の写像と関連していることを明らかにした。このポアンカレ写像のアプローチは、他の超離散系における周期構造にも応用できると期待される。

連続系とセルオートマトン系の対応問題はWolframの9番目の問題として知られており、超離散化はこの問題に対するアプローチの1つと考えられている。超離散化は、SIRモデル、炎症反応のモデル、Fisher-KPP方程式、Allen-Cahn方程式、Gray-Scottモデル、反応拡散モデル、1次元力学系の標準型、Sel'kovモデル、van der Pol方程式などの非可積分なモデルにこれまで適用されてきた。ここで重要な点は、超離散化された方程式が元の方程式の力学的特徴をいかに保持しているか、また超離散化によって新たな力学的特徴がいかに導入されるかという点であり、導出された超離散系の力学的性質を明らかにし、元の系の性質と比較することは重要である。本研究では、超離散Sel'kovモデルにおける2つの極限サイクルC, C_sの力学的性質を解析的に調べた。極限サイクルのポアンカル写像を構築し、その安定性を明らかにした。その結果、Cはattractive, C_sはrepulsive であることがわかった。また、Csのベイスンについては、不安定な固定点の周りに特異的に分布しており、自己相似性を持っていることが分かった。さらに、可積分区分線形写像によって、超離散Sel'kovモデルにおける時間発展を状態空間中の多角形Γとして表現することができた。そして、上述のポアンカル写像がΓの線分の内部分割点の写像と関連していることを明らかにした。このポアンカレ写像のアプローチは、他の超離散系における周期構造にも応用できると期待される。