Development of discrete Dirac dynamical systems and variational integrators

本研究では、非ホロノミックな拘束を受ける連続力学系の離散化に関連して、離散ディラック構造とそれに基づく離散ディラック力学系の枠組みを提案し、さらに、その変分構造を明らかにすることで、離散ディラック構造を保存する変分的積分法の開発を目的として研究を実施している。連続系の枠組みでは、配位多様体上の接バンドル及び余接バンドルの高階のバンドル構造を考え、いわゆる，Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階バンドル上で一般化された正準変換を導入した。これにより、ラグランジアンの微分から定義されるディラック微分を用いることで、接バンドル上の１形式を余接バンドル上に誘導した。さらに、余接バンドル上の誘導されたディラック構造によって、連続系のラグランジュ・ディラック系を導いたが、ここで、ディラック構造がフローによって構造不変であることを示した。その上で、これら連続系のディラック構造、及びラグランジュ・ディラック系の離散化を試みた。まず、離散ディラック構造の枠組みの構築には、余接バンドル上の正準２形式から誘導されるディラック構造をどのように離散化するかが鍵となる。また、離散化に際しては，配位空間の接バンドルを、配位空間の直積空間によって近似し、その上で、余接バンドル上の離散ディラック構造を導入することを考える必要がある。2022年度は、まず、連続系のディラック系を定式化する際に重要となる、Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階の接バンドル及び余接バンドルの間に成立する、シンプレクティック同相写像について、その離散化を行うことを試みた。そのうえで、まず、離散系の枠組みについては，正準２形式の離散化と離散化した非ホロノミック拘束から誘導される，余接バンドル上の離散化されたディラック構造の構築を行った。また、それを用いて、離散ラグランジュ・ディラック系の候補を導出することに成功した。

本研究では、非ホロノミックな拘束を受ける連続力学系の離散化に関連して、離散ディラック構造とそれに基づく離散ディラック力学系の枠組みを提案し、さらに、その変分構造を明らかにすることで、離散ディラック構造を保存する変分的積分法の開発を目的として研究を実施している。連続系の枠組みでは、配位多様体上の接バンドル及び余接バンドルの高階のバンドル構造を考え、いわゆる，Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階バンドル上で一般化された正準変換を導入した。これにより、ラグランジアンの微分から定義されるディラック微分を用いることで、接バンドル上の１形式を余接バンドル上に誘導した。さらに、余接バンドル上の誘導されたディラック構造によって、連続系のラグランジュ・ディラック系を導いたが、ここで、ディラック構造がフローによって構造不変であることを示した。その上で、これら連続系のディラック構造、及びラグランジュ・ディラック系の離散化を試みた。まず、離散ディラック構造の枠組みの構築には、余接バンドル上の正準２形式から誘導されるディラック構造をどのように離散化するかが鍵となる。また、離散化に際しては，配位空間の接バンドルを、配位空間の直積空間によって近似し、その上で、余接バンドル上の離散ディラック構造を導入することを考える必要がある。2022年度は、まず、連続系のディラック系を定式化する際に重要となる、Tulczyjewのtripleと呼ばれる高階の接バンドル及び余接バンドルの間に成立する、シンプレクティック同相写像について、その離散化を行うことを試みた。そのうえで、まず、離散系の枠組みについては，正準２形式の離散化と離散化した非ホロノミック拘束から誘導される，余接バンドル上の離散化されたディラック構造の構築を行った。また、それを用いて、離散ラグランジュ・ディラック系の候補を導出することに成功した。