Aspekte der Wärmeleitung auf speziellen Mannigfaltigkeiten und Anwendungen in der Operatortheorie

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Für spezielle Riemannsche Mannigfaltigkeiten M sollen Aspekte der Wärmeleitung und Anwendungen in der Operatortheorie untersucht werden. Insbesondere ist geplant, die spektrale Zetafunktion von (Sub-)Laplace Operatoren - eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zetafunktion - auf glatten Funktionen und Formen sowie deren jeweilige meromorphe Fortsetzung explizit zu berechnen. Über den Begriff der regelarisierten Determinante ergeben sich M zugeordnete topologische Invarianten wie die Torsion. Der Wärmeleitungskern des invarianten Sub-Laplace Operators auf n-stufig nilpotenten Liegruppen ist für n = 2 in vielen Fällen bestimmt und lässt sich via spektraler Zerlegung oder der komplexen Hamilton-Jacobi Theorie behandeln. Im Fall n > 2 ist hingegen wenig bekannt, und die Darstellung solcher Kerne in Ausdrücken spezieller Funktionen oder das ”Kurzzeitverhalten” sowie die Entwicklung eines geeigneten Rahmens der Analyse sollen versucht werden. Verallgemeinerte Lösungen der Wärmeleitungsgleichung bzw. die sogenannte Berezin Transformation haben wesentliche Anwendungen in der Operatortheorie über Räumen mit reproduzierendem Kern und führen dort etwa zu Charakterisierungen von gewissen Operatoridealen. Im Vergleich zu den klassischen Bergman Räumen erfordern Fälle harmonischer oder pluriharmonischer Funktionen auf geeigneten symmetrischen Gebieten von ähnlichem Typ einen neuen Zugang und sollen thematisiert werden.