冪単部分群の座標環のクラスター構造の加法的圏化と乗法的圏化の関係について

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前半はフレームのあるpreprojective　algebraの拡大の次元とKhovanov-Lauda-Rouquier代数(以下KLR代数)の加群圏におけるR行列の位数の関係について手がかりを得るために, KLR代数の加群圏における数値的な予想を立てることが必要であった. 予想の正しさを保証するために多くの具体例の計算が必要となる. 具体例の計算のためにPythonを用いてKLR代数の標準表現の具体的な構造を計算するプログラムを作成した. 具体的には標準加群の基底を決定した上でそれらに対するKLR代数の生成元の作用を書き下すようなものである. このプログラムにより標準加群のブロックの構造に関する予想が立った.後半はこの予想の証明に取り組んだ. まずはA型の場合における証明を試みた. KleshchevとRamの結果によるとKLR代数の標準加群はgood wordと呼ばれる対象によって分類され, good wordはLyndon good wordと呼ばれる対象の組み合わせによって表される. A型の場合はまずLyndon good wordが簡単であり, cuspidal加群自身も1次元であることがわかるのである種の計算についてはスムーズに行える. A型の場合には, 標準加群の各ブロックにおいて最短のシャッフル置換によって定義される元が存在することがわかり, これによって最高ウェイト圏に対して成り立ちやすい結果の類似を証明することができた. 例えばKleshchevとRamの論文で予想されていた標準加群が単純になる必要十分条件や標準加群の間の射の具体的構成並びにその性質についての結果である. 今回のような具体的な記述は一般の型に対しても拡張できることが期待できる.