実アーベル体の岩澤加群の有限性に関する研究

主に岩澤μ不変量が零である実アーベル体のGreenberg予想(岩澤加群の有限性)の研究を行う。まずρが奇素数の場合に、相対実ρ次巡回拡大のρに関する岩澤λ不変量の振る舞いを調べ、基礎となる総実代数体でλ_ρ=0となる場合にその相対実ρ次巡回拡大体でもλ_ρ=0なるための十分条件を与えた。これは基礎体が有理数体の場合には必要十分条件となっていることもわかる。特にρ=3の場合については、コンピューターによる数値計算実験を行い、幾つかの実3次巡回拡大体のρ=3に関するGreenberg予想成立を確認することに初めて成功した。ρ=2の場合には、これとは全く別の議論から、λ_2=0となる実2次体の具体的な無限族をいくつか与えた。これらの族はすべてρ=2が分解するか、類数が偶数のものであり、Greenberg予想の成立が岩澤の(分岐する素点が高々一つの拡大についての類数に関する)定理からは直ちに確認できない非自明なものばかりである。これらの研究では早大の尾崎、小松の両氏、及び、日大の福田氏との研究討議が非常に有益となり、彼らとの共同研究として日本数学会の学会でも報告が行われた。さらに最近であるが、奇素数ρが基礎となる総実代数体で完全分解する場合に、ρ進ゼータ関数の特殊値とZ_P拡大体のアンビグ類群のρ-partの位数の間に密接な関係があることがわかってきた。今後はこれを土台にGreenberg予想の解明に向けて研究を進めていく予定である。これによれば、非Galoisな総実代数体に対してもGreenberg予想の検証が可能になると思われる。

主に岩澤μ不変量が零である実アーベル体のGreenberg予想(岩澤加群の有限性)の研究を行う。まずρが奇素数の場合に、相対実ρ次巡回拡大のρに関する岩澤λ不変量の振る舞いを調べ、基礎となる総実代数体でλ_ρ=0となる場合にその相対実ρ次巡回拡大体でもλ_ρ=0なるための十分条件を与えた。これは基礎体が有理数体の場合には必要十分条件となっていることもわかる。特にρ=3の場合については、コンピューターによる数値計算実験を行い、幾つかの実3次巡回拡大体のρ=3に関するGreenberg予想成立を確認することに初めて成功した。ρ=2の場合には、これとは全く別の議論から、λ_2=0となる実2次体の具体的な無限族をいくつか与えた。これらの族はすべてρ=2が分解するか、類数が偶数のものであり、Greenberg予想の成立が岩澤の(分岐する素点が高々一つの拡大についての類数に関する)定理からは直ちに確認できない非自明なものばかりである。これらの研究では早大の尾崎、小松の両氏、及び、日大の福田氏との研究討議が非常に有益となり、彼らとの共同研究として日本数学会の学会でも報告が行われた。さらに最近であるが、奇素数ρが基礎となる総実代数体で完全分解する場合に、ρ進ゼータ関数の特殊値とZ_P拡大体のアンビグ類群のρ-partの位数の間に密接な関係があることがわかってきた。今後はこれを土台にGreenberg予想の解明に向けて研究を進めていく予定である。これによれば、非Galoisな総実代数体に対してもGreenberg予想の検証が可能になると思われる。