P-調和写像型変分問題の研究と液晶の数理解析

1.数学の理論研究.液晶の電磁気学的平衡状態を記述するERICKSENモデルの数理解析はp-調和写像型変分問題に帰着される.P-調和写像型変分問題に関連した熱型勾配流を記述する非線形退化放物型偏微分方程式の解の正則性と存在について次の結果を得た.(1)p-調和写像型変分汎関数を近似する退化型変分汎関数に関連した熱型勾配流の時間大域的な弱解の構成とその解の部分的正則性を証明した(概略を数理研講究録に掲載,M.Struweに投稿中).(2)写像先の多様体の断面曲率が非正である場合について,p-調和写像型変分問題に関連した熱型勾配流の時間大域的な弱解の存在を証明した.また,その解及び一階導関数がヘルダ連続であることを証明した(投稿中)以上の結果を改良,発展させてp-調和写像の熱型勾配流の解の正則性について考察中である.2.数値シミュレーション.後退差分型変分汎関数による近似法を利用した数値シミュレーションについては次のことを行なった.(1)空間次元が1次元の場合について、離散的勾配流の時間発展についての数値実験を数値解析用ソフト(MATH-EMATICA)を使って行なった.(2)空間2次元の円内部からその境界(円)に写す調和写像の時間発展の数値実験を行なった.プログラムを改良してよりスムーズに動作するようにしたい空間3次元の場合の数値実験は今後の課題である.

1.数学の理論研究.液晶の電磁気学的平衡状態を記述するERICKSENモデルの数理解析はp-調和写像型変分問題に帰着される.P-調和写像型変分問題に関連した熱型勾配流を記述する非線形退化放物型偏微分方程式の解の正則性と存在について次の結果を得た.(1)p-調和写像型変分汎関数を近似する退化型変分汎関数に関連した熱型勾配流の時間大域的な弱解の構成とその解の部分的正則性を証明した(概略を数理研講究録に掲載,M.Struweに投稿中).(2)写像先の多様体の断面曲率が非正である場合について,p-調和写像型変分問題に関連した熱型勾配流の時間大域的な弱解の存在を証明した.また,その解及び一階導関数がヘルダ連続であることを証明した(投稿中)以上の結果を改良,発展させてp-調和写像の熱型勾配流の解の正則性について考察中である.2.数値シミュレーション.後退差分型変分汎関数による近似法を利用した数値シミュレーションについては次のことを行なった.(1)空間次元が1次元の場合について、離散的勾配流の時間発展についての数値実験を数値解析用ソフト(MATH-EMATICA)を使って行なった.(2)空間2次元の円内部からその境界(円)に写す調和写像の時間発展の数値実験を行なった.プログラムを改良してよりスムーズに動作するようにしたい空間3次元の場合の数値実験は今後の課題である.