Coefficients in p-adic Hodge theory

研究員は学位論文の研究において，剰余体が完全な絶対不分岐なp進整数環上のsmoothな環の生成ファイバーの基本群の整p進表現に対して，絶対ガロア群の整p進表現に関するWach加群の理論を拡張した相対Wach加群の理論を構築し，相対Wach加群を持つ基本群の整p進表現はクリスタリン表現の格子となることを示していた．絶対ガロア群の整p進表現についてはすべてのクリスタリン表現の格子がWach加群を持つことが知られており，相対Wach加群でも同様の主張が成り立つかという基本的な問題が残されていた．クリスタリンp進表現の格子と局所自由性を緩めた絶対prismatic Fクリスタルの圏同値についての最近の先行研究を背景として，局所自由性を緩めた相対Wach加群を考えることにより，相対Wach加群の圏とクリスタリンp進表現の格子の圏のなす圏が圏同値になることを証明することに成功した．まず剰余体が完全でない絶対不分岐な完備離散付値環の場合に同様の定理を示し，それをp進整数環上のsmoothな環の特殊ファイバーの生成点に適用することにより上記結果を得た．前者については，類似のBreuil-Kisin加群において剰余体が完全な場合に帰着する先行研究があったが，Wach加群は群Γの作用を伴い，剰余体が完全な場合群Γは小さくなるため独自の工夫を要した．絶対prismatic Fクリスタルに関する上記先行研究との比較から，相対Wach加群への群Γの作用から対応するクリスタルを構成するためのstratificationを構成可能かという問題が自然に生ずる．この問題についても取り組み，相対Wach加群がある種の整p進周期環においてΓ作用が自明化されるという，絶対ガロア群の表現の場合にも知られていなかった新たな興味深い結果を得た．

研究員は学位論文の研究において，剰余体が完全な絶対不分岐なp進整数環上のsmoothな環の生成ファイバーの基本群の整p進表現に対して，絶対ガロア群の整p進表現に関するWach加群の理論を拡張した相対Wach加群の理論を構築し，相対Wach加群を持つ基本群の整p進表現はクリスタリン表現の格子となることを示していた．絶対ガロア群の整p進表現についてはすべてのクリスタリン表現の格子がWach加群を持つことが知られており，相対Wach加群でも同様の主張が成り立つかという基本的な問題が残されていた．クリスタリンp進表現の格子と局所自由性を緩めた絶対prismatic Fクリスタルの圏同値についての最近の先行研究を背景として，局所自由性を緩めた相対Wach加群を考えることにより，相対Wach加群の圏とクリスタリンp進表現の格子の圏のなす圏が圏同値になることを証明することに成功した．まず剰余体が完全でない絶対不分岐な完備離散付値環の場合に同様の定理を示し，それをp進整数環上のsmoothな環の特殊ファイバーの生成点に適用することにより上記結果を得た．前者については，類似のBreuil-Kisin加群において剰余体が完全な場合に帰着する先行研究があったが，Wach加群は群Γの作用を伴い，剰余体が完全な場合群Γは小さくなるため独自の工夫を要した．絶対prismatic Fクリスタルに関する上記先行研究との比較から，相対Wach加群への群Γの作用から対応するクリスタルを構成するためのstratificationを構成可能かという問題が自然に生ずる．この問題についても取り組み，相対Wach加群がある種の整p進周期環においてΓ作用が自明化されるという，絶対ガロア群の表現の場合にも知られていなかった新たな興味深い結果を得た．