Development of a foundation for discrete complex analysis

複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。

複素解析は非常に整備された数学理論であり、数学としての価値だけでなく、数理周辺の諸科学や工学における応用の場面でも非常に強力な数学理論として用いられてきている。その応用の観点からは、複素解析学の諸定義・結果等の単なる離散化ではなく、概念などの導入の最初から離散的な枠組みで理論体系を構築する試みが1940年代からなされており、物理学やCGなどへの応用も含め一定の成果を上げている。しかし、従来の定義はコーシーリーマン方程式の離散化をベースとすることから、複素平面のメッシュ分割に制限があっり、各結果の証明もそのメッシュ分割に則ったものとなっていた。我々は、離散正則性の定義から見直しを行い、正則性のある種の積分表現に基礎を置くことにより、一般的なメッシュ分割に制限なく離散正則性を定義できることを見出し、その定義の元でコーシーの積分表示を含む、より一般的な表現公式を得ることに成功した。また、その過程でサイクル（離散化された積分路）に依存して定まる離散円周率を導入した。