Hopf-Galois Theory and Skew Braces
Hopf-Galois Theory and Skew Braces
批准号:
EP/V005995/1
负责人:
Nigel Byott
金额:
$46.98万
依托单位:
依托单位国家:
英国
项目类别:
Research Grant
财政年份:
2021
资助国家:
英国
项目状态:
未结题
起止时间:
2021 至 --
中文摘要
该项目将探索和发展两个相当不同的代数领域之间的联系,即Hopf-Galois理论和(斜)花括号。Galois理论是使用群研究数系统(域)的对称性(自同构)的代数领域。一个熟悉的例子是复数共轭,它是复数的自同构,它固定所有实数,并生成一个2阶的群,作为实数的扩展的复数的伽罗瓦群。在其他方面,伽罗瓦理论解释了为什么5次或更多次的多项式方程通常不能用公式求解。Hopf-Galois理论通过用Hopf代数代替Galois群来推广这一经典情况。一个给定的域扩张可能有许多Hopf-Galois结构,根据Greither和Pareigis(1987)的结果,找到它们都相当于群论中的一个组合问题。有许多结果列举或限制了Hopf-Galois结构用于不同Galois群的扩张,而首席研究者一直是这一努力的关键贡献者。(斜)花括号是给出杨-巴克斯特方程的解的代数对象。由于杨-巴克斯特方程在理论物理和数学的许多领域中扮演着基本的角色,它们引起了人们的极大兴趣。花括号是由Rump(2007)引入的,此后许多作者对其进行了研究。Guarnieri和Vendramin(2017)将它们推广到斜撑。Bachiller(2016)首先指出,Hopf-Galois结构和支撑之间存在联系。这种联系实际上延伸到了斜撑。这种联系的产生是因为Hopf-Galois结构和斜花括号都对应于另一个群的全息中的正规子群。这意味着在Hopf-Galois结构和斜括号之间存在对应关系,这虽然不是一对一的,但允许将Hopf-Galois结构的结果重新解释为斜括号的结果,反之亦然。本项目将研究关于Hopf-Galois结构的支撑和斜支撑以及它们的类似物的几个重要的公开问题。这些问题都涉及到支撑或Hopf-Galois结构的外延的概念,研究的初始阶段将从不同的角度理解这些外延。这样做所得到的见解将被用于列举四元数和二面体花括号,研究具有不可解乘法群和可解加群的斜花括号,寻找不是对合杨-巴克斯特群的可解群的新例子,并对一些类的简单花括号和单斜花括号进行分类。
英文摘要
The project will explore and develop the connection between two rather different areas of algebra, namely Hopf-Galois theory and (skew) braces.Galois theory is the area of algebra which studies the symmetries (automorphisms) of number systems (fields) using groups. A familiar example is complex conjugation, which is an automorphism of the complex numbers that fixes all real numbers and generates a group of order 2, the Galois group of the complex numbers as an extension of the real numbers. Among other things, Galois theory explains why a polynomial equation of degree 5 or more cannot in general be solved by a formula. Hopf-Galois theory generalises this classical situation by replacing the Galois group with a Hopf algebra. A given field extension may have many Hopf-Galois structures, and, by a result of Greither and Pareigis (1987), finding them all amounts to a combinatorial problem in group theory. There are many results enumerating or restricting Hopf-Galois structures for extensions with various Galois groups, and the Principal Investigator has been a key contributor to this endeavour. (Skew) braces are algebraic objects which give solutions of the Yang-Baxter equation. They are of considerable interest since the Yang-Baxter equation plays a fundamental role in many areas of theoretical physics and of mathematics. Braces were introduced by Rump (2007) and have since been studied by many authors. They were generalised to skew braces by Guarnieri and Vendramin (2017). It was first noted by Bachiller (2016) that there is a connection between Hopf-Galois structures and braces. This connection in fact extends to skew braces. The connection comes about because both Hopf-Galois structures and skew braces correspond to regular subgroups in the holomorph of another group. This means that there is a correspondence between Hopf-Galois structures and skew braces which, while not one-to-one, allows results on Hopf-Galois structures to be reinterpreted as results on skew braces, and vice versa. This project will investigate several important open problems on braces and skew braces, and their analogues for Hopf-Galois structures. These problems all involve the notion of extensions of braces or Hopf-Galois structures, and the initial phase of the research will be to understand these extensions from a variety of perspectives. The insights gained from doing so will be then be used to enumerate quaternionic and dihedral braces, to study skew braces with insoluble multiplicative group and soluble additive group, to look for new examples of soluble groups which are not involutive Yang-Baxter groups, and to classify some classes of simple braces and simple skew braces.
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Left non-degenerate set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation and semitrusses
Yang-Baxter 方程和半桁架的左非简并集合论解
DOI:
10.1016/j.jalgebra.2022.07.019
发表时间:
2022
期刊:
Journal of Algebra
影响因子:
0.9
作者:
[Colazzo I]
通讯作者:
Colazzo I
Finite Idempotent Set-Theoretic Solutions of the Yang-Baxter Equation
Yang-Baxter方程的有限幂等集论解
DOI:
10.1093/imrn/rnad183
发表时间:
2023
期刊:
International Mathematics Research Notices
影响因子:
1
作者:
[Colazzo I]
通讯作者:
Colazzo I
Mini-Workshop: Skew Braces and the Yang-Baxter Equation
迷你研讨会:斜括号和 Yang-Baxter 方程
DOI:
10.4171/owr/2023/9
发表时间:
2023
期刊:
Oberwolfach Reports
影响因子:
--
作者:
[Brzezinski T]
通讯作者:
Brzezinski T
DOI:
10.1016/j.jalgebra.2023.10.001
发表时间:
2024
期刊:
Journal of Algebra
影响因子:
0.9
作者:
[Byott N]
通讯作者:
Byott N
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线性差分微分混合方程的 Galois 群算法与符号求解
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批准号:JCZRQNB202600726
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项目类别:省市级项目
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资助金额:--
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批准年份:2026
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负责人:
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依托单位:
Hopf-Galois代数及其附加结构的研究
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批准号:--
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项目类别:青年科学基金项目
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资助金额:30万元
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批准年份:2022
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负责人:郑慧慧
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依托单位:
线性码的广义pair重量、Galois对偶及相关问题研究
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批准号:12271199
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项目类别:面上项目
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资助金额:46万元
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批准年份:2022
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负责人:刘宏伟
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依托单位:
用代数方法研究Galois自对偶码的构造和表示问题
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批准号:12071264
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项目类别:面上项目
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资助金额:52.0万元
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批准年份:2020
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负责人:曹永林
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依托单位:
Theta对应与Galois周期
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批准号:11971223
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项目类别:面上项目
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资助金额:52.0万元
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批准年份:2019
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负责人:张翀
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依托单位:
乘子余群胚理论和代数量子群胚的双Galois理论及交叉Yetter-Drinfeld-模范畴
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批准号:11871144
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项目类别:面上项目
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资助金额:53.0万元
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批准年份:2018
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负责人:王栓宏
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依托单位:
非线性动力系统的Galois方法
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批准号:11771177
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项目类别:面上项目
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资助金额:48.0万元
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批准年份:2017
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负责人:史少云
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依托单位:
差分Galois理论中的算法及其应用
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批准号:11771433
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项目类别:面上项目
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资助金额:48.0万元
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批准年份:2017
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负责人:冯如勇
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依托单位:
Monoidal Hom-Hopf Galois扩张下的自同态Hom-代数的结构和扩张研究
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批准号:11601203
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项目类别:青年科学基金项目
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资助金额:18.0万元
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批准年份:2016
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负责人:王忠伟
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依托单位:
模形式Galois表示的计算及其应用
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批准号:11601153
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项目类别:青年科学基金项目
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资助金额:17.0万元
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批准年份:2016
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负责人:田鹏
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依托单位: