Galois Actions on Fundamental Groups and Number Theory

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本年度も引き続きl進ガロアポリログと呼ばれる3点抜き射影直線の数論的基本亜群から生じる絶対ガロア群上のl進特殊関数に関する研究を行った。まず、3点抜き射影直線のS_3対称性から生じるl進ガロアアソシエーターの関係式から、l進ガロアトリログのLanden型関数等式や、指数に関する双対と変数に関する反転という二つの側面を持つl進ガロア多重ポリログの関数等式(双対反転公式)を導いた。次に、5標点付き射影直線のモジュライ空間M_{0,5}からある因子を除いて得られる代数多様体V(non-Fano配置の補空間)が持つ対称性を利用して、l進ガロアトリログのSpence-Kummer型関数等式を導出した。なお、この関数等式に現れるerror termと呼ばれるl進ガロア特有の項の計算を、M_{0,5}のガロア理論や計算機Magmaを用いることにより、Vの基本群の生成元となる道を明示的に求めることで完遂した。また、その過程で、l進ガロアダイログのSchaeffer型, Kummer型, Hill型の関数等式も併せて導出した。さらに、Leonard Lewin氏により発見されていたある変数変換がX+Y+Z-XYZという3変数多項式で定義される代数多様体からある因子を除いて得られる空間WからM_{0,5}への射という代数幾何的意味を持つことに着目し、ポリログのNewman型関数等式を導くWから3点抜き射影直線への射の族を構成した。そして、筆者の上述のLanden型関数等式に関する研究成果を、l進ガロア多重ポリログの大井-上野型関数等式に関する中村博昭氏の研究結果と合わせ、中村氏との共著論文としてまとめ投稿した。なお、Spence-Kummer型関数等式の論文、双対反転公式の論文を投稿準備中である。一方、九州大学で行われた研究集会LT＆NT XIIIにて上記の研究成果の一部に関する講演を行った。