Some contributions to the study of branching structures and trees

对分支结构和树木研究的一些贡献

基本信息

  • 批准号:
    2747915
  • 负责人:
  • 金额:
    --
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    英国
  • 项目类别:
    Studentship
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    英国
  • 起止时间:
    2022 至 无数据
  • 项目状态:
    未结题

项目摘要

Trees and branching structures are ubiquitous not only in mathematics but across the sciences. They appear naturally in modelling a huge range of phenomena: genealogies in evolutionary biology, spread and survival of populations in ecology, data structures in computer science, to name but a few. However, their importance goes well beyond modelling. Of course, trees are classical graph-theoretic objects. But, more broadly, wherever there is recursion, there is a tree, and so branching structures turn up in an astonishing variety of mathematical contexts as disparate as geometry and the analysis of algorithmic complexity. Nowhere is this more true than in probability theory.Of particular relevance for the present project are some recent developments concerning what happen near the extremal particles of branching random walks. More precisely, if one considers a branching Brownian motion at large times and looks near the furthest particle to the right, it was shown in Aidekon et al. (2013) and in Arguin et al. (2013) that one sees a limit object which happens to be a decorated Poisson point process, that is a Poisson point process where each atom has been decorated by an independent copy of a certain point measure. More recently, a lot of work has been devoted to understanding this decoration point measure, see for instance Berestycki et al. (2022), Brunet et al. (2020) to cite just a few recent works. A first project is based on a recent study by physicists Le et al. (2022) concerning the fluctuations of the number of particles in the decoration measure. By using a backward construction of the branching Brownian motion seen from its tip, we will confirm their predictions and obtain a rigorous central limit theorem as well as several additional interesting results concerning the extremal point process of the branching Brownian motion. A second project is to study a Markov chain on height functions of a given length. More precisely, there are a variety of natural dynamics. The suggestion here is to consider Aldous's down-up Markov chain on non-planar binary trees and to equip them with a planar order. Specifically, Aldous's Markov chain takes a leaf uniformly at random and moves it to a new position also chosen uniformly at random. Choosing and removing a leaf has a natural meaning in the setting of height functions of planar trees. The insertion in a new position has been studied by Marchal (2003) in a study establishing a strong convergence of random height functions to a Brownian excursion. Aldous (2000) and Schweinsberg (2002) established relaxation times of order n^2 for Aldous's Markov chain, and it may be expected that the same holds for the Markov chain on height functions. A motivation for this work is work by Forman et al. (2020, 2022+) to establish a limiting diffusion process on a space of continuum trees conjectured by Aldous (1999). The additional planar structure of the height function formalism allows to recast this problem in the richer setting of continuous excursion functions, which offers additional techniques such as stochastic partial differential equations. Related work by Zambotti (2017) used this technique to study the limit of a different Markov chain in the same state space. In any of these settings, the limiting object is expected to exhibit universality.
树和分支结构不仅在数学中普遍存在,而且在整个科学中也普遍存在。它们自然地出现在对大量现象进行建模时:进化生物学中的谱系、生态学中种群的传播和生存、计算机科学中的数据结构等等。然而,它们的重要性远远超出了建模范围。当然,树是经典的图论对象。但是,更广泛地说,哪里有递归,哪里就有树,因此分支结构出现在各种各样的数学环境中,就像几何和算法复杂性分析一样不同。概率论最能体现这一点。与当前项目特别相关的是有关分支随机游走的极值粒子附近发生的情况的一些最新进展。更准确地说,如果人们在很大程度上考虑分支布朗运动并观察右侧最远的粒子,则 Aidekon 等人的研究表明了这一点。 (2013) 和 Arguin 等人。 (2013)人们看到一个极限对象,它恰好是一个装饰泊松点过程,即每个原子都被某个点测量的独立副本装饰的泊松点过程。最近,大量工作致力于理解这种装饰点测量,例如参见 Berestycki 等人。 (2022),布鲁内特等人。 (2020)仅举一些最近的作品。第一个项目基于物理学家 Le 等人最近的一项研究。 (2022)关于装饰措施中颗粒数量的波动。通过使用从其尖端看到的分支布朗运动的向后构造,我们将证实他们的预测并获得严格的中心极限定理以及关于分支布朗运动的极值点过程的几个附加有趣结果。第二个项目是研究给定长度的高度函数的马尔可夫链。更准确地说,存在多种自然动力。这里的建议是考虑非平面二叉树上的奥尔德斯自下而上的马尔可夫链,并为它们配备平面顺序。具体来说,奥尔德斯的马尔可夫链均匀随机地取出一片叶子,并将其移动到同样随机均匀选择的新位置。选择和去除叶子对于平面树的高度函数的设置具有自然的意义。 Marchal (2003) 在一项研究中研究了新位置的插入,该研究建立了随机高度函数与布朗偏移的强收敛性。 Aldous (2000) 和 Schweinsberg (2002) 为 Aldous 的马尔可夫链建立了 n^2 阶的弛豫时间,并且可以预期这对于高度函数上的马尔可夫链也成立。这项工作的动机是 Forman 等人的工作。 (2020,2022+)在奥尔德斯(Aldous,1999)猜想的连续树空间上建立有限扩散过程。高度函数形式的附加平面结构允许在更丰富的连续偏移函数设置中重新构建该问题,这提供了附加技术,例如随机偏微分方程。 Zambotti (2017) 的相关工作使用该技术来研究同一状态空间中不同马尔可夫链的极限。在任何这些设置中,限制对象都期望表现出普遍性。

项目成果

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