Méthodes variationnelles pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires

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Les impacts indéniables de la recherche fondamentale dans le domaine des équations aux dérivées partielles (ou EDP) que ce soit en physique, en sciences appliquées, en calcul scientifique ou même en sciences de la vie sont sans cesse plus nombreux et importants. Dans ces diverses disciplines, les systèmes et phénomènes étudiés sont souvent modélisés à l'aide d'EDP. Les solutions de ces dernières peuvent fournir de précieux renseigne- ments quantitatifs mais également d'importantes informations qualitatives comme : le comportement à long terme du phénomène, sa périodicité éventuelle, etc.   La révolution conceptuelle, introduite en mathématiques il y a plus d'un siècle, consiste à voir cette solution, qui est en fait une fonction, comme un « point » d'un espace qualifié de fonctionnel et qui est de dimension infinie. Par la suite nous considérons une nouvelle fonction, nommée fonctionnelle, définie sur cet espace fonctionnel de telle sorte qu'une solution de l'EDP examinée soit également un point critique de cette fonction- nelle. Un point critique étant un point dont la « géométrie » s'apparente au creux d'une vallée ou bien au sommet ou au col d'une montagne.   Disposant de la fonctionnelle associée à l'EDP qui nous intéresse, nous tenterons de démontrer l'existence de points critiques (donc de solutions), puis de caractériser si possible ces derniers. Notre tâche étant rendue ardue principalement à cause du comportement particulier des espaces fonctionnels dû au fait qu'ils comprennent une infinité de dimensions. Les impacts de notre recherche risquent d'être appréciables puisque certaines des EDP étudiées ont une grande importance dans le domaine dont elles sont issues. Nous pensons, entre autres, à l'équation semi-linéaire de Schrödinger qui est de première importance en mécanique quantique dans la compréhension profonde de la nature de la matière qui nous entoure.