Analyse non linéaire : théorie et applications concrètes

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Mon programme de recherche comporte deux volets : d'une part l'analyse théorique des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires et d'autre part, l'application de ce type d'EDP en mécanique quantique, en biomathématique, en infographie ou en finance, par exemple. D'un point de vue théorique, je m'intéresse à l'existence d'une ou de plusieurs solutions à ces EDP de même qu'aux propriétés de ces dernières, comme la symétrie par exemple. Rappelons que la recherche du célèbre boson de Higgs reposait sur un résultat théorique d'existence, avant que la réalité physique de cette particule ne soit confirmée en 2012 grâce au grand collisionneur de hadrons du CERN ; faisant de cette quête une des expériences les plus coûteuses de l'histoire. à plus long terme, les résultats théoriques que je souhaite obtenir, trouveraient d'importantes applications en mécanique quantique en confirmant que cette théorie, la meilleure théorie de la physique selon plusieurs physiciens, est bien en mesure d'expliquer la stabilité de notre monde en dépit du nombre phénoménal de particules en jeu et d'interactions entre ces dernières. L'analyse théorique précédente s'appliquerait également aux systèmes largement étudiés de FitzHugh-Nagumo ainsi que de Gierer-Meinhardt, provenant de la biomathématique, qui ont été avancés, respectivement, comme modèle de la propagation des stimuli électriques dans les axones et comme modèle de la morphogénèse dans les systèmes de type activateur-inhibiteur. Ce dernier tente de répondre à une question fondamentale de la biologie : par quels procédés des cellules possédant le même code génétique se différencient-elles? Je m'intéresse aussi aux applications à la simulation de fluides en temps réel en infographie utilisée dans les films ou les jeux vidéo par exemple. Le premier problème qui se pose se rapporte à ce qui fait en sorte que les fluides simulés paraissent naturels. Afin d'y faire face, mes collaborateurs et moi avons adopté l'approche qui consiste à exiger que les fluides respectent les lois de la physique et en particulier, les équations de Navier-Stoke qui régissent l'écoulement des fluides. Cependant, la quantité importante de calculs requis dans ce cas représente un important défi lors de simulations en temps réel. Soulignons aussi que les méthodes que nous avons développées peuvent trouver une utilité en tractographie dont l'objectif est de mettre en évidence les faisceaux de neurones d'images cérébrales obtenues à partir du procédé de résonnance magnétique. Ma recherche porte également sur la sélection de portefeuilles comportant des actifs sans risque et des actifs risqués, une question cruciale en ces temps où les taux d'intérêt sont au plus bas. En conclusion, mon programme de recherche permet d'envisager de multip