Méthodes numériques sans maillage et méthodes variationnelles en théorie des équations aux dérivées partielles

点击翻译按钮获取中文摘要

Les impacts indéniables de la recherche fondamentale dans le domaine des équations aux dérivées partielles (ou EDP) que ce soit en physique, en sciences appliquées, en calcul scientifique ou même en sciences de la vie sont sans cesse plus nombreux et importants. Dans ces diverses disciplines, les systèmes et phénomènes étudiés sont souvent modélisés à l'aide d'EDP. Les solutions de ces dernières peuvent fournir de précieux renseignements quantitatifs mais également d'importantes informations qualitatives comme : le comportement à long terme du phénomène, sa périodicité éventuelle, etc.. Dans le volet théorique du présent programme je tenterai de démontrer l'existence de solutions d'une large famille d'EDP, puis de caractériser autant que possible, ces solutions. Les impacts de notre recherche risquent d'être appréciables puisque certaines des EDP étudiées ont une grande importance dans les domaine dont elles sont issues comme, par exemple, la Biomathématique ou la Physique quantique. Ce programme comporte également un volet axé sur les applications dans le domaine de la dynamique des fluides. Il s'agit d'un sujet largement étudié en raison des nombreuses applications que l'on retrouve par exemple, en ingénérie, en imagerie numérique, dans l'industrie aéronautique ou dans l'industrie des jeux vidéos. Les équations de Navier-Stokes décrivant le comportement des fluides ne sont pas aisées à résoudre numériquement et encore moins en temps réel. De plus, les maillages utilisés afin de représenter les diverses structures impliquées peuvent dans certaines circonstances occuper un espace mémoire considérable. Je propose de développer une méthode numérique sans maillage qui présente la même efficacité que d'autres méthodes déjà arrivées à maturité comme la méthode des éléments finis ou la méthode des différences finies. Cela afin, entre autres, de produire des animations de fluides en temps réel les plus réalistes possible.