Equivariant aspects in cohomology, K-theory and index theory

上同调、K 理论和指数理论中的等变方面

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2014-06520
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 1.02万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2014
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2014-01-01 至 2015-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

The aim of the project is to study symmetries and their mathematical incarnations, group actions. We are mostly interested in manifolds with rotational symmetries, which correspond to actions of tori. Specifically, we will look at the effect of the symmetry on algebraic invariants of these spaces, notably on equivariant cohomology and equivariant K-theory. A major theme is centred around syzygies. The notion of syzygy from commutative algebra interpolates between torsion-free and free modules. In a joint project with Chris Allday (Hawaii) and Volker Puppe (Konstanz) I have initiated the study of syzygies in the context of torus-equivariant cohomology. Our approach unifies and generalizes many results concerning the freeness or torsion-freeness of equivariant cohomology, and it provides a better understanding of the equivariant Poincaré pairing and the so-called "GKM method" for computing equivariant cohomology. One objective of the present project is to extend this theory to other groups (including p-tori and non-commutative groups) and also to equivariant K-theory. Part of this will be carried out with Volker Puppe and Reyer Sjamaar (Cornell). I will also investigate a new class of torus manifolds which are emerging from the previous work and generalize the "polygon spaces" studied by many authors. These spaces are intersections of real quadrics, which provides connections to singularity theory, complex analysis and non-commutative geometry. Many spaces are what is called "equivariantly formal"; they often come up in combinatorics and representation theory. Here I want to find a common proof of equivariant formality for the two main classes of examples. Another objective is to explore the connections between our work on syzygies and recent work of De Concini, Procesi and Vergne about vector partition functions, splines and the equivariant index. Both are based on the same work of Atiyah and Singer. While there are similar patterns, the precise connection between the two is not understood so far. A smaller sub-project focuses on a topological approach to the Galois theory of Pythagorean fields via actions of 2-tori.
该项目的目的是研究对称性及其数学体现,群体作用。我们最感兴趣的是具有旋转对称性的流形,它对应于环面的作用。具体来说,我们将研究对称性对这些空间的代数不变量的影响,特别是等变上同调和等变K-理论。一个主要的主题是围绕syzygies。交换代数中的合合的概念是在挠自由模和自由模之间插入的。在一个联合项目与克里斯Allday(夏威夷)和沃尔克Puppe(康斯坦茨)我已经开始研究的syzygies的背景下,环面等变上同调。我们的方法统一和推广了许多关于等变上同调的自由度或无挠度的结果,并提供了一个更好的理解等变Poincaré配对和所谓的“GKM方法”计算等变上同调.本项目的一个目标是将这个理论扩展到其他群(包括p-环面和非交换群)以及等变K-理论。其中一部分将与Volker Puppe和Reyer Sjamaar(康奈尔大学)一起进行。我还将研究一类新的环面流形,这是从以前的工作和推广的“多边形空间”研究了许多作者。这些空间是真实的二次曲面的交叉点,它为奇点理论、复分析和非交换几何提供了联系。许多空间是所谓的“等变形式”;它们经常出现在组合学和表示论中。在这里,我想为两类主要的例子找到一个等变形式的共同证明。另一个目标是探索我们的工作syzygies和最近的工作德康西尼,Procesi和Vergne关于向量配分函数,样条和等变指数之间的联系。两者都是基于Atiyah和Singer的同一作品。虽然有类似的模式,但两者之间的确切联系迄今为止还不清楚。一个较小的子项目侧重于拓扑方法的伽罗瓦理论的毕达哥拉斯领域通过行动的2环面。

项目成果

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