Modern numerical methods for partial differential equations

偏微分方程的现代数值方法

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2016-05983
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 1.09万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2016
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2016-01-01 至 2017-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

Partial differential equations (PDEs) are among the most important objects of study in science and engineering. Solution of these equations would reveal the properties of the system under study. Very often, these equations express conservations of mass, energy and momenta. For instance, aircraft manufacturers are interested in designing wings of aircraft maximizing efficiency, performance and safety. The relevant PDEs are the conservation laws mentioned above for the unknown velocity and pressure fields. Unfortunately, explicit solutions of these equations are very rare. In general scientists and engineers rely on numerical methods to solve PDEs. In realistic 3D cases, there may be many millions of unknowns and equations. The most powerful computers are not able to solve these equations in reasonable time using classical methods. Spectral methods are classical numerical methods to solve PDEs. If the PDE is time independent and the solution is smooth, then spectral methods converge exponentially, meaning that for the same order of accuracy, only thousands of unknowns are required compared to many millions of unknowns for other methods which don't converge exponentially. Hence spectral methods can obtain the solution much quicker compared to other methods. Unfortunately, if the PDE is time dependent, the classical spectral method does not converge exponentially. Space-time spectral methods are new methods which do converge exponentially and have appeared only within the past decade. In the current Discovery cycle, I have proven exponential convergence of a space-time spectral method for the heat equation, a time dependent PDE of great significance which describes the temperature distribution of a body. Together with my students, the next step is to repeat for other standard linear PDEs occurring in science and engineering. After that, nonlinear equations can be considered. Another important aspect is to design fast solvers for the equations which arise in the space-time spectral method. Finally, the classical spectral method works only for rectangular geometry. For problems on complex geometry, the spectral element method, a generalization of the classical spectral discretization, can be considered. Another topic to be explored involves numerical methods for fractional PDEs. Classical PDEs model local phenomena, while fractional PDEs are for systems exhibiting nonlocal behaviour. Fractional PDEs have been studied mostly in the past decade and have been one of the most active areas of mathematics. Numerical methods for fractional PDEs have only appeared in the past five years. Very recently, I have performed a convergence analysis of a finite difference method for a 1D time independent fractional equation. Some of the aims of this program include extending the analysis to higher dimensions and time dependent problems, and designing modern fast solvers for the resultant equations.
偏微分方程是科学和工程中最重要的研究对象之一。这些方程的解将揭示正在研究的系统的性质。通常,这些方程表示质量、能量和动量守恒。例如,飞机制造商对设计最大限度地提高效率、性能和安全性的飞机机翼感兴趣。相关的偏微分方程组是上面提到的未知速度场和压力场的守恒定律。不幸的是,这些方程的显式解非常罕见。一般而言,科学家和工程师依靠数值方法来求解偏微分方程组。在真实的3D情况下,可能有数百万个未知数和方程式。最强大的计算机不能使用经典方法在合理的时间内求解这些方程。 谱方法是求解偏微分方程组的经典数值方法。如果偏微分方程解与时间无关且解是光滑的,那么谱方法就会指数收敛,这意味着对于相同的精度,只需要数千个未知数,而其他方法不是指数收敛的,需要数百万个未知数。因此,与其他方法相比,谱方法可以更快地得到解。不幸的是,如果偏微分方程随时间变化,经典谱方法不能指数收敛。时空谱方法是一种新的方法,它确实是指数收敛的,只是在过去的十年里才出现。 在当前的发现周期中,我已经证明了热方程的时空谱方法的指数收敛,这是一种描述物体温度分布的具有重要意义的含时偏微分方程组。和我的学生一起,下一步是对科学和工程中出现的其他标准线性偏微分方程组重复进行。在此之后,可以考虑非线性方程。另一个重要的方面是为时空谱方法中出现的方程设计快速求解器。最后,经典谱方法只适用于矩形几何。对于复杂几何问题,可以考虑经典谱离散化的推广--谱单元法。 另一个要探索的主题涉及分数偏微分方程组的数值方法。经典偏微分方程建模于局部现象,而分数偏微分方程建模于呈现非局部行为的系统。分数偏微分方程组的研究主要是在过去的十年中进行的,并且一直是数学中最活跃的领域之一。分数阶偏微分方程组的数值方法是近五年才出现的。 最近,我对一维时间无关分数阶方程的有限差分方法进行了收敛分析。该程序的一些目标包括将分析扩展到更高维度和与时间相关的问题,并为所得到的方程设计现代快速解算器。

项目成果

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Lui, ShiuHong(Shaun)其他文献

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    $ 1.09万
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知道了