Free harmonic analysis and applications

免费谐波分析和应用

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2016-03796
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 1.09万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2020
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2020-01-01 至 2021-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

This research proposal is in non-commutative probability, a branch of pure mathematics that is often regarded as a non-commutative parallelism of probability theory. The theory has its roots in the mathematical foundation of quantum mechanics and is closely related to another area of mathematics, called functional analysis, in which one studies topological vector spaces and functions between such spaces. Roughly, the non-commutativity here means that usual functions (or random variables), say, X and Y, are replaced by matrices or operators on vector spaces so that the familiar identity XY=YX no longer holds. This feature of (non-commutative) random variables makes it possible to introduce various notions of independence among them and study their probabilistic behaviour thereafter. The most famous example of such is the notion of free independence and the corresponding free probability, on which this proposal is based on. The applicant proposes to study the harmonic analysis aspect of free probability, as well as its extension and applications to related fields such as bi-free probability theory, free local limit theorems, and infinite ergodic theory. Voiculescu introduced in 2013 the notion of bi-freeness, which is a suitable notion of non-commutative independence for pairs of non-commutative random variables. This area is currently under a rapid development, and most treatments of bi-freeness and the underlying bi-free convolution are combinatorial to date. In contrast to the classical or free probability theories, the literature lacks a harmonic analysis approach to bi-free probability at this moment. The primary goal of this proposed research is to develop such a theory, with an emphasis on bi-freely infinitely divisible distributions. In a recent joint work with Hao-Wei Huang, the applicant obtained some results to show that the classical limit theory of infinitely divisible laws, due to Levy and Khintchine, has a perfect bi-free analogue in the framework of commuting pairs of variables. The applicant believes that his methodology and the approach through limit theorems can be used to treat the general question of bi-free harmonic analysis, without the commutativity assumption. It is quite important that the aforementioned results be further developed in order to understand the bi-freeness better and explore its connections with random matrix. A success in this program would put Canada at the frontier of this research line, and brings impact to harmonic analysis aspect of free probability. This proposal also contains several unanswered questions that are accessible to graduate students or postdoc fellows. The applicant will use the NSERC Discovery Grant to contribute to the training of HQP, especially at the level of PhD students and Postdoctoral Fellows.
这项研究建议是在非交换概率,一个分支的纯数学,往往被视为一个非交换并行的概率论。该理论起源于量子力学的数学基础,并与数学的另一个领域密切相关,称为泛函分析,其中研究拓扑向量空间和此类空间之间的函数。粗略地说,这里的不可交换性意味着通常的函数(或随机变量),例如X和Y,被向量空间上的矩阵或运算符替换,因此熟悉的等式XY=YX不再成立。(非交换)随机变量的这一特性使得在它们之间引入各种独立性的概念并研究它们的概率行为成为可能。其中最著名的例子是自由独立的概念和相应的自由概率,这一建议是基于此。 申请人建议研究自由概率的调和分析方面,以及其在相关领域的扩展和应用,例如双自由概率论、自由局部极限定理和无限遍历理论。 Voiculescu在2013年引入了双自由度的概念,这是一个适用于非交换随机变量对的非交换独立性的概念。这一领域目前正在快速发展,迄今为止,大多数双自由度和底层双自由卷积的处理都是组合的。与经典概率论或自由概率论不同,目前文献中还缺乏对双自由概率的调和分析方法。这项研究的主要目标是发展这样一个理论,重点是双自由无限可分分布。 在最近与Hao-Wei Huang的联合工作中,申请人获得了一些结果,以表明由于Levy和Khintchine,无限可分定律的经典极限理论在交换变量对的框架中具有完美的双自由模拟。申请人认为,他的方法和通过极限定理的途径可以用于处理双自由调和分析的一般问题,而无需交换性假设。为了更好地理解双自由度并探索其与随机矩阵的联系,进一步发展上述结果是非常重要的。该计划的成功将使加拿大处于这一研究领域的前沿,并对自由概率的谐波分析方面产生影响。 这份提案还包含了几个未回答的问题,研究生或博士后研究员可以访问。申请人将使用NSERC发现补助金为HQP的培训做出贡献,特别是在博士生和博士后研究员的水平上。

项目成果

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Wang, JiunChau其他文献

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