Analyse, optimisation et modélisation mathématique

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La modélisation mathématique se prête bien à la fois à la résolution de problèmes de nature concrète et à la formation de personnel hautement qualifié. Proposer des solutions mathématiques adéquates à des problèmes de nature concrète demande le développement d'outils mathématiques originaux et pertinents et contribue à l'avancement des connaissances en mathématiques. Mon programme propose l'étude mathématique de 5 problématiques reliées à la modélisation et aux mathématiques appliquées. (1) Le problème classique des mélanges en optimisation. En ayant comme objectif de proposer des solutions concrètes et réalistes à des problématiques issues de l'agriculture (diètes animales), de la métallurgie (formation et correction de boulettes) et de la chimie (équilibre chimique), nous explorerons différentes facettes théoriques de ce problème. (2) La méthode des coefficients indéterminés en analyse numérique. Cette méthode utilisée pour établir des formules d'intégration numérique, de dérivation numérique et d'estimation ponctuelle nous permet d'obtenir des bornes d'erreur optimales Les termes d'erreur seront donnés pour différents types de fonctions. Nos résultats seront utiles en calcul numérique. (3) Le filtre de Kalman et la méthode de Newton. La reconstruction progressive d'une image à l'aide d'un filtre de Kalman est une méthode prometteuse en imagerie médicale. étant donné que les images sont bruitées, il devient primordial d'estimer la moyenne, en général non nulle, du bruit. Nous étudierons une adaptation du filtre de Kalman afin d'estimer les moyennes des bruits dans les équations d'évolution et/ou d'observation d'un système dynamique discret. (4) Les zéros de fonctions et l'analyse classique. Afin de contribuer à l'estimation de paramètres atmosphériques, nous modélisons la fonction de transfert d'un système d'observation atmosphérique à l'aide de la distribution Gaussienne Généralisée et de sa transformée de Fourier. On étudie alors les propriétés de cette distribution et de différentes approximations polynomiales en termes de leurs zéros. (5) La forme et la croissance des diatomées. Nous décrirons la forme et modéliserons la croissance des diatomées, microalgues unicellulaires qui croissent dans les eaux. Ces formes géométriques et la dynamique de leurs modifications seront décrites par des fonctions mathématiques appropriées. Nos résultats seront utiles en écologie.