Developing an alternative approach to analytic number theory

开发解析数论的替代方法

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2018-04174
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 4.15万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2022-01-01 至 2023-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

In 1859 Riemann published a ten page monograph in which he showed how an understanding of the distribution of prime numbers can be achieved through the study of the zeros of the Riemann zeta function (which occur in its domain of analytic continuation). His extraordinary approach has dominated the subject ever since, leading to most of what we know about primes, and allowing researchers to penetrate natural analytic questions about L-functions in many different settings. However, there are disappointing limitations on this approach: Qualitatively:, There have been few fundamental improvements to key estimates in the last fifty years (eg, reducing the error term in the prime number theorem); Quantitatively: There does not seem to be a way to attack certain fundamental questions using these methods (eg, proving there are primes in all intervals of the form [x, x + x]); and Fundamentally: These methods apply only when the corresponding Dirichlet series can be analytically continued into the “critical strip”, yet we know how to analytically continue only a limited subset of the L-functions that arise naturally in arithmetic. In 2009, Soundararajan and I began developing an alternative approach to the subject. Although largely based on various ad hoc techniques of earlier authors, particularly what we call the notion of pretentiousness (evolved from a result of Halasz), when combined into one logical flow, this presents a coherent new perspective on analytic number theory. Indeed some of the classical techniques fit better into this framework. In this proposal we attack several well-known questions in analytic number theory using the alternative perspective and also develop the new theory, We aim to: -- Push forward the theory of asymptotic formulas for mean values of multiplicative functions, in several directions, with Koukoulopoulos and Soundararajan; -- Simplify the theory of integrating via triple products, improve the range and obtain lower bounds for the number of primes in short intervals (with Harper, Matomaki and Radziwill). -- Obtain a "structure theorem" for mean values with a stronger (and so more useful) error term -- Get asymptotics for exponential sums twisted by multiplicative functions, on the major arcs, so as to solve various ternary arithmetic problems, with de la Breteche and Soundararajan. Then, with Myerson, use this technology for analogous questions in higher dimensions. -- Give, with Myerson, a general Barban-Davenport-Halberstam theorem taking account of all forms of pretentiousness (as in my work with Xiao on Bombieri-Vinogradov) -- Develop further links for additive combinatorics with a route to the Green-Tao theorem, and perhaps give a rough classification to the Lipschitz spectrum (with Harper) -- Better appreciate the distribution of short character sumsThese projects should push forward the development of the alternative approach.
黎曼在1859年出版了10页的专着,他在其中展示了如何理解的分布素数可以通过研究的零点黎曼zeta函数(这发生在其域的解析延续)。从那以后,他非凡的方法一直主导着这个主题,导致了我们对素数的大部分了解,并使研究人员能够在许多不同的环境中深入了解关于L函数的自然分析问题。然而,这种方法也有令人失望的局限性:定性:,在过去的五十年里,关键估计几乎没有根本性的改进(例如,减少素数定理中的错误项);量化:似乎没有一种方法可以使用这些方法来解决某些基本问题(例如,证明在形式为[x,x + x]的所有区间中存在素数);以及基本上:这些方法只适用于当相应的狄利克雷级数可以解析地继续到“临界带”,但我们知道如何解析地继续只有有限的子集的L-函数,自然出现在算术。2009年,Soundararajan和我开始开发一种替代方法。虽然很大程度上基于早期作者的各种特设技术,特别是我们所说的自命不凡的概念(从哈拉斯的结果演变而来),当结合成一个逻辑流程时,这提出了一个连贯的分析数论新视角。事实上,一些经典的技术更适合这个框架。本文用另一种观点解决了解析数论中的几个著名问题,并发展了新的理论。我们的目标是:--与Koukoulopoulos和Soundararajan一起,在几个方向上推进乘法函数均值的渐近公式理论;--改进了三重积积分的理论,改进了范围,并获得了短间隔内素数个数的下界(与哈珀,Matomaki和Radziwill一起)。 --获得具有更强(因此更有用)误差项的平均值的“结构定理”--获得由乘法函数扭曲的指数和在主弧上的渐近性,以便与de la Breteche和Soundararajan一起解决各种三元算术问题。然后,与迈尔森一起,将这种技术用于更高维度的类似问题。 --与迈尔森一起给出一个考虑到所有形式的自命不凡的一般的Barban-Davenport-Halberten定理。(就像我和Xiao在Bengeri-Vinogradov上的工作一样)--为加法组合学开发更多的链接,并提供通往Green-Tao定理的路线,也许可以给Lipschitz谱一个粗略的分类(与哈珀)--更好地欣赏短字符sums的分布这些项目应该推动替代方法的发展。

项目成果

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