Several aspects of L-functions

L-函数的几个方面

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2022-03651
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 2.26万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2022-01-01 至 2023-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

L--functions play a central role in number theory as many of the deepest questions in the area revolve around them. They encode properties of arithmetic objects, such as the prime numbers. Euclid proved that there are infinitely many prime numbers 2300 years ago, and Gauss conjectured an asymptotic formula for the number of primes 200 years ago. This asymptotic formula was eventually proven by Hadamard and de la Vallée Poussin in 1896 and became known as the Prime Number Theorem. However, obtaining a formula as precise as Gauss conjectured is still an open problem, as it depends on the Riemann Hypothesis (RH), one of the seven Millennium Problems from the Clay Mathematics Institute with a prize of one million dollars. RH is a statement about the zeroes of Riemann zeta function, which is the simplest possible L-function. Many directions arise when considering more general L-functions. The most fundamental questions in this topic are concerned with how large L-functions can be, with the location of their zeroes, and with the values they take at particular numbers (special values). The answers or expected answers to such questions have deep arithmetic significance, such as the Birch and Swinnerton--Dyer conjecture (another Millennium Problem!) and its generalizations. The two far--reaching goals of our research program are concerned with the study of special values of L--functions, and the study of statistics associated to L-functions, particularly of their non-vanishing at certain points. The first direction concerning special values of L--functions has been driven by our focus on Mahler measure of multivariable polynomials. The (logarithmic) Mahler measure of a non-zero polynomial is defined as certain complex integral, and has been found to yield special values of functions of number theoretic significance such as L-functions. One expects that understanding these formulas will yield more information about the nature of the special values. We have been working in the discovery, proof, and understanding of such formulas with the goal of gaining knowledge towards deep conjectures of Beilinson and Bloch on special values of L-functions. We are also studying the dynamical Mahler measure, associated to discrete dynamical systems. The other main direction for our research program revolves around statistics of L-functions. By the work of Montgomery, and then Katz and Sarnak, it is natural to study families of L--functions (sets of L--functions that share a common arithmetic structure) with the expectation that the behavior of the family will provide information about its individual members. We have been focusing on various aspects of the arithmetic statistics of L--functions, in particular for cubic L-functions. The theory is well understood for quadratic L-functions, but much less in known for the cubic case, as it is much more difficult. We have been working on the distribution of values in such families, and in particular non-vanishing results.
L--函数在数论中起着核心作用,因为该领域的许多最深层次的问题都围绕着函数。它们对算术对象的属性进行编码,例如质数。2300年前,欧几里得证明了存在无穷多个素数,200年前,高斯猜想了素数个数的渐近公式。这一渐近公式最终由Hadamard和de la Vallée Poussin在1896年证明,并被称为素数定理。然而,获得一个像高斯猜想那样精确的公式仍然是一个悬而未决的问题,因为它取决于黎曼假说(RH),这是克莱数学研究所颁发的七个千年问题之一,奖金为100万美元。Rh是关于Riemann Zeta函数的零点的一个陈述,Riemann Zeta函数是最简单的可能的L函数。当考虑更一般的L函数时,出现了许多方向。这个主题中最基本的问题是关于L函数可以有多大,它们的零点的位置,以及它们在特定数字(特定值)处的取值。这类问题的答案或预期答案具有深刻的算术意义,例如伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想(另一个千年问题!)及其泛化。我们的研究计划的两个深远的目标是关于L函数的特殊价值的研究和与L函数有关的统计学的研究,特别是它们在某些点上的非零性的研究。关于L的特定值的第一个方向--函数,是由我们对多元多项式的马勒测度的关注推动的。非零多项式的(对数)Mahler测度被定义为某种复积分,并且已被发现产生具有数论意义的函数的特定值,如L函数。人们期望理解这些公式将获得更多关于特定值的性质的信息。我们一直致力于这些公式的发现、证明和理解,目的是为了对Beilinson和Bloch关于L函数的特殊值的深层猜想有更深入的了解。我们也在研究与离散动力系统相关的动力马勒测度。我们研究项目的另一个主要方向是围绕L的统计-函数。通过蒙哥马利的工作,然后是卡茨和萨纳克的工作,研究L的家庭--函数(L--共享共同算术结构的函数的集合)--是很自然的,期望家庭的行为将提供关于其个别成员的信息。我们一直在关注L的算术统计的各个方面--函数,特别是三次L函数。这个理论对于二次L函数是很好理解的,但对于三次函数就不那么清楚了,因为它要困难得多。我们一直在研究这些家庭的价值分布,特别是不消失的结果。

项目成果

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    Discovery Grants Program - Individual
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  • 批准号:
    355412-2013
  • 财政年份:
    2013
  • 资助金额:
    $ 2.26万
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
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    2015
  • 资助金额:
    $ 2.26万
  • 项目类别:
    Standard Grant
Automorphic Forms and L-functions: P-adic Aspects and Applications
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  • 批准号:
    1501083
  • 财政年份:
    2015
  • 资助金额:
    $ 2.26万
  • 项目类别:
    Standard Grant
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  • 批准号:
    26400122
  • 财政年份:
    2014
  • 资助金额:
    $ 2.26万
  • 项目类别:
    Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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