Extension de la méthode de projection en mécanique des fluides.

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Dans ce projet nous nous intéresserons à la simulation de phénomènes multiphysiques gouvernés pas un écoulement multiphasique. Les applications de ce type sont nombreuses : médecine (circulation sanguine, épidémiologie), écologie et environnement (transport de polluant, transport de parasites dans les cours d'eau), météorologie, en génie (moulage de polymère, refroidissement de transformateurs, etc.). La résolution du système de Navier-Stokes décrivant l'écoulement est centrale à toute simulation des phénomènes nous intéressant. Parmi les approches efficaces Chorin et Temam (circa 1970) ont proposé une stratégie basée sur une prédiction de la vitesse d'une grande souplesse et offrant un cadre mathématique rigoureux. Cette approche est très populaire et son utilité au niveau d'applications industrielles n'est plus à faire. Malheureusement, si l'approche est élégante, il n'est pas mathématiquement justifié de l'utiliser lorsque la densité ou la viscosité n'est pas constante. Pour une vaste gamme de problèmes impliquant des fluides tels que ceux énoncés plus haut (surface libre, convection naturelle, fluide viscoélastique, etc.) l'utilisation de cette approche est mathématiquement erronée. Ces constations soulèvent deux questions : Est-il possible de produire des méthodes inspirées de la méthode de projection supportant des conditions limites génériques pour des fluides hétérogènes tout en ayant la même efficacité? Mieux encore, dans les cas de modèle physique complexe, est-il possible d'utiliser la prédiction de la vitesse, facile et économique à calculer pour obtenir une approximation de qualité du phénomène? Dans des travaux précédents, nous avons proposé différentes variantes de la méthode permettant d'en étendre le champ d'application. Ces travaux exploratoires ne visaient qu'à prouver la faisabilité. La pertinence de notre approche étant démontrée nous voulons maintenant. 1) construire et analyser rigoureusement une extension générique de la méthode de projection 2) Construire et analyser les schémas basés sur le couplage entre la vitesse prédite des méthodes de projection et le reste des variables dans le cas des modèles multiphysique. Cette démarche mathématique mènera à une maitrise des méthodes proposées : cadre de validité, hypothèses requises, estimation de l'erreur, etc. Elle sera basée sur les concepts usuels: existence, convergence, ordre en temps et stabilité. Puisque les gains en performance et la pertinence pour des applications industrielles forment la motivation première de ce projet, les aspects numériques et techniques seront traités de manière tout aussi rigoureuse. Une comparaison aux solutions obtenues par une approche classique est incontournable. Au terme de ce projet, nous aurons produit une méthodologie de simulation héritant de la souplesse et de l'efficacité de la méthode de projection. Les gains en performance permettant d'augmenter la complexité ou la finesse de l'analyse pour des phénomènes multiphysiques.