在本项目里，我们研究了几类向量值退化时滞微分方程在不同函数空间 的最大正则性问题，其中带有的时滞项可以是无穷时滞也可以是有限时滞，考虑的函数空间可以是Lebesgue-Bochner空间，可以是周期Besov空间，也可以是周期Triebel-Lizorkin空间。我们将这几类问题的最大正则性问题自然地转化成为相应向量值函数空间上的算子值傅里叶r乘子问题，利用已有的向量值函数空间上的算子值傅里叶乘子定理，我们给出了这些问题在相应函数空间具有最大正则性的充分条件、必要条件或者充分必要条件。我们将得到的抽象结果应用到很多具体的退化时滞微分方程上，给出了这些退化时滞微分方程在不同函数空间中具有最大正则性的充分条件、必要条件或者充分必要条件。另外，我们还研究了Banach空间中非空闭凸子集上的不动点定理，得到了Krasnoselskii型不动点定理，该定理可以成功地应用到一类Hammerstein积分方程中，给出该类方程解的存在性的刻画。